venerdì 2 dicembre 2016

Osservazioni sulla tabella della sottrazione - classe terza

Matematica per gli insegnanti

La differenza tra due numeri dei quali il primo (minuendo) è maggiore o uguale al secondo (sottraendo), è un terzo numero (differenza) che addizionato al secondo dà come somma il primo.
L’operazione necessaria per calcolare la differenza tra due numeri si chiama sottrazione.

Se eseguiamo una sottrazione tra due numeri appartenenti ad N, vediamo che la differenza è un numero appartenente ad N solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Se il minuendo è minore del sottraendo, la differenza non è in N: possiamo dunque dire che la sottrazione non è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è aperto rispetto alla sottrazione.

Abbiamo visto che nella sottrazione, se il minuendo è minore del sottraendo, non è possibile eseguire l’operazione in N. E’ quindi necessario allargare l’ambito numerico considerando non solo i numeri interi positivi, ma introducendo anche i numeri interi negativi.
N+ + N-  formano l’insieme dei numeri interi relativi, detto insieme Z.


Matematica per gli alunni

COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Ricerca dati per ricavare informazioni e costruisce rappresentazioni (tabelle e grafici).
Si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e sa valutare l’opportunità di ricorrere a una calcolatrice.
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

comprendere il significato dei numeri 1 e 0 nella sottrazione; individuare alcune caratteristiche della sottrazione; leggere e rappresentare relazioni e dati con diagrammi, schemi e tabelle.

PERCORSO DIDATTICO

Rivediamo i termini della sottrazione: a questo proposito potrebbe essere utile una mia presentazione in PowerPoint con i "numeri uccelli".

Proponiamo poi una tabella vuota da completare oppure facciamola rappresentare sul quaderno. Fai clic per stampare la tabella.


Lasciamo vuota per ora la prima casella in alto a sinistra e nella prima colonna scriviamo in blu il numero delle noci che Br1 ha raccolto. Prima non ne aveva, poi ne ha raccolto una, quindi 2, 3, ecc. Nella prima riga scriviamo in rosso il numero delle noci che invece voleva mangiare quel ghiottone di Bass8.

Ora, usando questa tabella, siamo in grado di sapere quante noci avevano i due amici in ogni momento. Ad esempio se Bruno ha raccolto 4 noci e Bassotto ne voleva mangiare una, quante noci sarebbero rimaste? Dove lo scriviamo? Quando Bruno aveva raccolto 5 noci, se Bassotto non ne aveva ancora mangiate, quante noci avevano? Ma allora che segno dovremo mettere nella cella in alto a sinistra che avevamo lasciata vuota? Certo, il segno - perché Bass8, mangiando le noci, ne fa diminuire la quantità. Riflettiamo: quando Bruno aveva raccolto 6 noci, Bassotto avrebbe potuto mangiarne 8? Perché? Secondo voi, ora la tabella è ancora quasi vuota, riusciremo a riempirla tutta? Perché? Proviamo, cominciando insieme per favorire la comprensione degli incroci tra righe e colonne e poi facendo proseguire gli alunni da soli.
Al termine scateniamo la caccia alle osservazioni, che trascriveremo in calce alla tabella stessa. Dovrebbe emergere:

• Non abbiamo riempito tutte le caselle, la sottrazione non è sempre possibile.
• La sottrazione con numeri naturali è possibile solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo
• Osservando la prima colonna ci accorgiamo che i numeri non sono cambiati, infatti se da un numero tolgo zero, il risultato non cambia. Lo zero è l’elemento neutro dell’addizione, quando è il sottraendo.
• Se da un numero togli 1, trovi il numero precedente
• Su una diagonale ci sono tutti “0” perché in una sottrazione se il minuendo è uguale al sottraendo, il resto è sempre “0
• La sottrazione non gode della proprietà commutativa. Possiamo allora mettere la freccia a doppia punta nella prima casella?


Propongo a questo punto un esercizio in cui gli alunni dovranno completare due piccole tabelle con la sottrazione, colorando le caselle in cui non sarà possibile eseguire le sottrazioni. Se vuoi stampare le tabelle (tre per foglio) fai clic qui.


Ecco un link per giocare al puzzle delle sottrazioni: fai clic.




martedì 29 novembre 2016

L'uso del "non" ed i sottoinsiemi complementari - classe terza

Matematica per gli insegnanti

Consideriamo due insiemi C e D: si chiama differenza di tali insiemi C-D, l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono a C ma non appartengono a D.
Consideriamo due insiemi di piante:
C = {Quercia, pino, abete, faggio, olmo};           
D = {faggio, olmo, larice, sequoia};
C-D = {quercia, pino, abete}; quindi sono le piante che appartengono a C e non appartengono a D.
D-C = {larice, sequoia}; quindi sono le piante che appartengono a D e non appartengono a C.
Dato un insieme C e un sottoinsieme D, si chiama complementare di D rispetto a C, l’insieme che si ottiene come differenza fra C e D.
Esempio
C={2,4,6,8 }    D={2,4 }     C-D = {6,8 }
Vediamo un altro esempio:
Se A={x/x insegnante italiano }   B={x/x insegnante italiano abitante nell'Italia Settentrionale}
l’insieme di tutti gli insegnanti italiani che non abitano nell'Italia Settentrionale costituisce un insieme complementare quindi:

A-B={x/x insegnante italiano che non abita nell'Italia Settentrionale}.
Matematica per gli alunni

COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista di altri.
Rileva dati significativi, li analizza, li interpreta, sviluppa ragionamenti sugli stessi utilizzando consapevolmente rappresentazioni grafiche.
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

saper utilizzare  il connettivo non;
classificare elementi in base a due attributi utilizzando rappresentazioni opportune; argomentare sui criteri che sono stati usati per realizzare classificazioni e ordinamenti assegnati; indicare gli attributi di una classificazione; rappresentare insiemi con l’uso di diagrammi (Venn, Carrol, ad albero).


PERCORSO DIDATTICO

Iniziamo a lavorare a livello orale.

Un bambino dice un enunciato vero. Cosa succede se aggiungiamo la negazione “non”?
Un bambino dice un enunciato falso. Cosa succede se aggiungiamo la negazione “non”?
Sul quaderno
Bassotto e Bruno sono in casa perché fuori fa freddo e giocano a dadi. Bruno lancia i dadi.


Bassotto dice un enunciato vero:

La somma dei punti è 7
Aggiungiamo la negazione “NON”
La somma dei punti non è 7”. Com’è questo enunciato? Quindi se aggiungiamo NON ad un enunciato vero lo trasformiamo in un enunciato falso.
Bruno lancia ancora i dadi


Bassotto dice un enunciato falso:

La somma dei punti è 7
Aggiungiamo la negazione “NON”
La somma dei punti non è 7”. Com’è questo enunciato? Quindi se aggiungiamo NON ad un enunciato falso lo trasformiamo in un enunciato vero.


Procediamo con l'attività invitando i bambini a mettere sul banco un oggetto giallo, un oggetto non giallo e un oggetto non non giallo. A questo punto inevitabilmente avremo creato un po' di panico tra gli alunni. Come dovrebbe essere l'oggetto richiesto? Sicuramente non "non giallo" e quindi giallo. Nella doppia negazione i due "non" si annullano a vicenda.
Non non giallo = giallo


Proponiamo un esercizio
Disegna un blocco quadrato rosso, un blocco rotondo non rosso, un blocco rettangolare non non rosso


L’uso di “non” ci può aiutare a definire i sottoinsiemi complementari ed comprendere meglio quei problemi in cui dobbiamo trovare la parte che non…..

Vediamo alla lavagna e sul quaderno (se vuoi stampare la scheda con tre copie dei frutti fai clic qui)



Un altro esempio:
A = Insieme di blocchi
B = sottoinsieme dei blocchi non gialli
C = sottoinsieme complementare dei blocchi gialli
Un altro esercizio:


Una scheda per facilitare la comprensione dei sottoinsiemi complementari: fai clic per stampare la scheda.



PROPOSTA PER ATTIVITA' DI LABORATORIO

Suddividere gli alunni in gruppi: ogni gruppo dovrà colorare e ritagliare gli animali rappresentati su una scheda. Si forniranno poi agli alunni due cordicelle di colore diverso e si illustrerà la consegna: formate un insieme con tutti gli animali che avete ritagliato, all'interno dell'insieme con la seconda cordicella evidenziate un sottoinsieme e definite il sottoinsieme complementare.
Provate a formare diversi sottoinsiemi ed ogni volta definite anche il sottoinsieme complementare. 


Una presentazione PowerPoint

venerdì 25 novembre 2016

Problemi con dati inutili o mancanti - classe terza

Matematica per gli insegnanti

Occorre abituare gli alunni ad analizzare i testi dei problemi, considerato che la situazione problematica può presentare dati insufficienti, eccessivi, contraddittori. 
Si tratta di un abito mentale che abitua all’analisi della realtà, in cui spesso i dati “grezzi” vanno valutati con attenzione ai fini della risoluzione del problema. È quindi importante insistere con i ragazzi perché imparino a riflettere sul testo, evitando di dedicarsi alla risoluzione dopo una rapida e frettolosa lettura.
Le Indicazioni nazionali prevedono che gli alunni siano posti a confronto con problemi con dati sovrabbondanti, con dati mancanti, con dati contraddittori.
Citando da D’Amore B., Sandri P. (1998) "Risposte degli allievi a problemi di tipo scolastico standard con un dato mancante. La matematica e la sua didattica": 
"sono considerati interessanti i problemi con dati mancanti perché l’allievo è spinto a cercarli, intervenendo sul problema e quindi assumendo in certa misura un ruolo attivo anche in fase di elaborazione del testo del problema stesso e non solo nella fase di risoluzione. Nella pratica didattica, ci si limita quasi esclusivamente a problemi nei quali i dati possono essere reperiti attraverso misurazioni dirette (per esempio per determinare l’area del pavimento di una stanza); oppure attraverso la visita ad agenzie di viaggio (per esempio per pianificare tempi e costi in vista di una gita); e così via. Possiamo chiamare questi: problemi reali con dati mancanti ma rintracciabili (p.r.). In un suo celebre articolo, Y. Chevallard (1988, p. 1) studia i problemi del genere: «Un pastore ha 360 pecore e 5 cani. Qual è l’età del pastore?» allo scopo di analizzare ciò che è solitamente designato da “comportamento di risposta assurdo”. Questi problemi si caratterizzano per un’assenza di legame “logico” (non certo da un punto di vista formale, ma di esperienza) tra la prima parte dell’enunciato e la domanda esplicita finale. Tra i problemi la cui soluzione è impossibile da trovare con i dati forniti, c’è tuttavia una categoria diversa dalle due precedenti. Si tratta di problemi caratterizzati come segue: • il loro enunciato è di forma scolastica standard • non c’è una “rottura logica” tra dati e domande, che caratterizza, per esempio, i problemi citati da Chevallard (1988, p. 1) e un esempio dei quali è stato ricordato precedentemente • per arrivare alla soluzione, manca un dato che non è disponibile né empiricamente rintracciabile, contrariamente al caso dei problemi p.r. Per esempio: «Giovanna va a fare la spesa e spende 10.000 lire. Quanto le resta nel portafoglio?»."
Matematica per gli alunni

COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Ricerca dati per ricavare informazioni e costruisce rappresentazioni (tabelle e grafici). Ricava informazioni anche da dati rappresentati in tabelle e grafici.
Legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici.
Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria.
Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista di altri.
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

riconoscere ed isolare situazioni problematiche; in un testo individuare e distinguere la richiesta e i dati; rappresentare e risolvere una situazione problematica simbolicamente; individuare l'insufficienza o la sovrabbondanza di dati in un testo problematico.

PERCORSO DIDATTICO

Bruno e Bassotto stanno cominciando ad apprezzare l’autunno e continuano le loro scorribande per campi e per boschi, attratti dalla meraviglia dei colori autunnali e dalla bontà dei frutti autunnali. Oggi però hanno incontrato un fenomeno nuovo che non conoscevano. Ad un certo punto sono stati avvolti da una grande nuvola bianca che si è posata al suolo e non gli ha lasciato vedere più nulla. Dopo qualche paura iniziale Bass8 ha cominciato a divertirsi: “Che bello! E’ come essere tra le nuvole ma per terra”! Br1 brontolava invece : “Sarà anche bello ma qui non si vede più niente. Chissà dove andremo a finire!” E andò a finire che sbatterono la testa contro un muro che, per loro fortuna, era un muro della casa del contadino Marco che li invitò ad entrare nella sua fattoria, in attesa che la nebbia svanisse. Sono rimasti alcune ore da Marco e nell’attesa ci hanno inviato alcuni problemi da risolvere, divertendosi un po’ a confonderci le idee. Questo è il primo problema che ci hanno inviato:

“Il contadino Marco ha ormai terminato la vendemmia e nella sua cantina ci sono 4 damigiane che contengono rispettivamente 25 l di vino, 40 l di vino, 30 l d’olio e 50 l di vino. Quanti sono i litri di vino?”
Risolviamo insieme, sempre ricordando agli alunni l’importanza di seguire le corrette fasi di risoluzione di un problema: lettura attenta del testo, individuazione della domanda e dei dati utili (lasciamo ai bambini la facoltà di indicare tutti i dati e poi evidenziare quelli inutili oppure quella di indicare e scrivere solo i dati che ritengono utili), indicazione del procedimento risolutivo, esecuzione dei calcoli, scrittura della risposta dopo aver controllato la sua logicità.


Il secondo problema che ci è pervenuto è questo:
“Il contadino Marco è nell’orto e sta raccogliendo gli ultimi pomodori. Ne ha raccolti 12. Quanti pomodori sono rimasti sulla pianta?”
Seguendo le fasi di cui sopra ci accorgiamo che non è possibile risolvere questo problema perché c’è un dato mancante. In classe Andrea ha detto: " Non si può risolvere questo problema perchè manca il dato iniziale". Ottimo! Aggiungiamo l’informazione che manca e poi risolviamo.


Procediamo con il lavoro individuale

Risolvi
“La moglie di Marco ieri è andata nel bosco ed ha raccolto 9 funghi porcini e 12 funghi prataioli. Oggi ha cucinato 5 funghi prataioli. Quanti prataioli le rimangono?”


“Invece il figlio di Marco è andato con la mamma ma per raccogliere foglie autunnali da portare a scuola. Ha raccolto 25 foglie gialle ed alcune foglie rosse. Quante foglie ha raccolto in tutto?”


PROPOSTA PER ATTIVITA' DI LABORATORIO

Propongo due schede che possono essere assegnate come lavoro di gruppo: nella prima gli alunni dovranno comprendere le informazioni contenute in un volantino, nella seconda dovranno individuare e risolvere problemi normali, con dati inutili o mancanti.