lunedì 26 settembre 2016

Raggruppamenti di 2° ordine in basi diverse - classe terza

Matematica per gli insegnanti
La base di un sistema di numerazione indica quante unità di un ordine servono a formarne una dell’ordine superiore. In base 10 occorrono 10 unità del primo ordine per formare un’unità del secondo ordine, in base 4 occorrono 4 unità del primo ordine per formare un’unità del secondo ordine e così via.
Per indicare un numero, ad esempio 15, espresso nella base 6, si usa la scrittura (15)6: si legge “uno cinque in base sei” per distinguerlo da quindici espresso in base 10.

Proviamo a contare 27 oggetti in base 5.


Invece che raggruppare in decine dovremo raggruppare 5 unità in cinquine. Otteniamo 5 cinquine e restano 2 unità.


Ora dovremo raggruppare per cinquine di cinquine. Otteniamo una cinquina di cinquine e 2 unità.

Il numero ottenuto si scrive (102)5 e si legge “uno zero due in base 5”.

Possiamo constatare che i simboli che occorrono per scrivere un numero in base 10 sono dieci: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; i simboli necessari per scrivere un numero in base 5 sono cinque: {0,1,2,3,4}; i simboli necessari per scrivere un numero in base 2 sono due: {0,1,}. 
Quindi i simboli necessari per scrivere un numero in una base qualsiasi C sono C e precisamente {0,1,…,C−1}.


Per trasformare un numero espresso in una base diversa da 10 in base 10, occorre scrivere il numero nella sua forma polinomiale.
Es. : dobbiamo trasformare 153(6) in base 10
1 x 62 + 5 x 61 + 3 x 60 = 36 + 30 + 3 = 69

10111(2)
1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23

213(4) = 2 x 42 + 1 x 41 + 3 x 40 = 32 + 4 + 3 = 39


Se dobbiamo fare il lavoro inverso, cioè quello di trasformare qualunque numero espresso in base 10 in una base diversa da 10 possiamo usare il metodo delle divisioni successive.
Se, ad esempio, vogliamo esprimere il numero 56(10) in base 4 dovremo raggruppare e quindi dividere successivamente per 4. Il numero che cerchiamo sarà dato dai resti considerati dal basso verso l’alto.
56(10) = 320(4)

Vediamo ora di trasformare il numero 36(10) in base 3.
36(10) = 1100(3)

Matematica per gli alunni



COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica.
Riconosce ed utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici
Al termine della classe terza l'alunno dovrà:
effettuare raggruppamenti e cambi in basi diverse da 10;
effettuare raggruppamenti di 2° ordine in base 10 ed esprimere le quantità ottenute con i simboli numerici;
utilizzare correttamente lo zero ed il valore posizionale delle cifre

Unità n° 1: Scienza e fantascienza

PERCORSO DIDATTICO

Bruno ed il Bassotto svolazzano tra i pianeti dei numeri, atterrando ora su l’uno ora sull’altro e divertendosi un mondo a vedere i raggruppamenti. Sì, infatti sul Pianeta del 2 o Base due si raggruppa sempre per 2, sul Pianeta del 3 o Base 3 si raggruppa sempre per 3, sul Pianeta del 4 o Base 4 si raggruppa sempre per 4 e così via. Seguiamo i nostri amici: ecco, sono atterrati poco fa sulla Base 3 ed ora sono al bar della Base spaziale dove stanno comprando pasticcini (cosa ci volete fare, i nostri amici sono golosi!!!). Per ogni pasticcino comprato noi useremo un regolo bianco. Br1 ne ha comprati 8, quindi mettiamo sul banco 8 regoli bianchi. Ma ecco che il barista glieli raggruppa per 3 e fa un pacchetto ogni 3 pasticcini. Raggruppiamo anche noi per 3 e cambiamo con un regolo lungo da 3. Br1 ottiene 2 pacchetti da 3 e 2 pasticcini da soli.

Rappresentiamo sul quaderno cosa abbiamo fatto


Bass8, molto più goloso di Br1 ne ha comprati il doppio, 16 pasticcini. Prendiamo quindi 16 regoli bianchi. Anche a lui il barista raggruppa i pasticcini per 3 e fa un pacchetto ogni 3 pasticcini. Raggruppiamo anche noi per 3 e cambiamo ogni gruppo con un regolo lungo da 3. Bassotto ottiene 5 pacchetti ed un pasticcino solo. Bassotto fa per afferrare i pacchetti e gustarsi i pasticcini ma il barista lo ferma con sguardo minaccioso, facendogli capire che non aveva ancora finito. Infatti prende 3 pacchetti e li riunisce insieme in un superpacchetto. Raggruppiamo anche noi i 3 regoli verdi e vediamo che abbiamo formato un quadrato, un supergruppo, e ci restano 2 pacchetti di pasticcini ed un pasticcino solo.

Rappresentiamo sul quaderno


Vediamo esempi in basi diverse, lavorando sempre insieme (personalmente non ritengo importante né necessaria una verifica di questo lavoro, che ha il solo scopo di essere propedeutico alla comprensione del secondo cambio in base 10).







Ulteriori risorse sul Web



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