martedì 27 novembre 2012

Il SMD: le lunghezze

Anche per questo argomento si tratta di una revisione dei concetti già appresi nello scorso anno scolastico.
Iniziamo l'attività chiedendo agli alunni "cosa significa misurare" e constatiamo quanto hanno assimilato delle attività dell'anno precedente. Si dovrebbe giungere alla conclusione che misurare significa vedere quante volte una grandezza campione o unità di misura è contenuta nella grandezza da misurare.
Puntualizziamo anche che, per misurare una lunghezza, occorre un'altra lunghezza che deve essere uguale per tutti: l'unità di misura delle lunghezze è il metro (m), che è la lunghezza, a 0°, di un regolo campione di platino e iridio che si conserva nell’Ufficio Internazionale dei Pesi e delle Misure a Sévres, presso Parigi.
Sappiamo anche che che il nostro Sistema Metrico è decimale e che ci sono misure 10, 100, 1000 volte più piccole del metro (i sottomultipli).

Prendiamo un nastro lungo 1 m e dividiamolo in 10 parti uguali, registriamo sul quaderno cosa abbiamo fatto e disegniamo le misure volta a volta ottenute. 


Possiamo misurare alcune lunghezze usando come u di misura  un po’ il m, un po’ il dm, il cm ed il mm, ricordando anche di effettuare stime. Ad esempio misuriamo l’altezza di alcuni bambini in cm, l’altezza della porta in m, il lato di una piastrella in dm, la lunghezza di un dito in mm.
Per ogni misurazione effettuata:
  • esprimiamo le misurazioni ricordando che le unità corrispondono alla marca, quindi, ad esempio, se Marco è alto 136 cm e 4 mm diremo 136,4 cm
  • indichiamo il valore di ogni cifra.                   
 Proponiamo poi un esercizio in cui gli alunni dovranno indicare il valore di ogni cifra di una misura.
Naturalmente è molto importante fare in modo che gli alunni misurino veramente, in modo da assimilare bene la metodologia operativa. Può essere utile anche un esercizio come il seguente, tratto da una prova Invalsi delle classi quinte. Fai clic per stampare la scheda.
 

Rivediamo anche i multipli del metro.
Per misurare la lunghezza del cortile o dell'atrio della scuola facciamo prima usando il metro od usando la rotella metrica? Ecco allora la necessità di rivedere anche i multipli del metro.
Sintetizziamo in una tabella i multipli ed i sottomultipli delle lunghezze.
Proponiamo un esercizio come il seguente, tratto da una prova invalsi per la classe quinta.

Scegli l’unità di misura più adatta, mettendo una crocetta per ogni riga
della tabella
Ecco una scheda per far esercitare gli alunni sulla scomposizione delle misure. Fai clic per stamparla.

Una volta appurato che gli alunni sanno riconoscere con sicurezza il valore di ogni cifra di una misura possiamo passare alla fase successiva, rivedendo come si effettuano le equivalenze. Diversi sono i metodi possibili, io solitamente ne uso due. Cominciamo dal primo, il metodo della scomposizione, per cui gli alunni devono indicare il valore di ogni cifra e poi spostare la virgola dopo la marca richiesta. Ecco qui un video che illustra il mio modo di operare alla lavagna, usando la freccia delle equivalenze. Per chi volesse saperne di più l'intero percorso è descritto per la classe terza e lo puoi vedere facendo clic su questo link.

video

Problema iniziale: Luca è alto  1,45 m, Giuseppe è alto 14,42 dm. Chi è più alto? 
Per effettuare un confronto corretto dobbiamo usare la stessa unità di misura, quindi dobbiamo trasformare i metri in decimetri oppure i decimetri in metri.
Iniziamo trasformando i metri in decimetri.
Gli alunni già sapranno dalle attività precedenti che, in primo luogo dovranno individuare l’unità del numero scritto che, quindi, corrisponderà alla marca indicata. Nel nostro caso l’unità è 1 e quindi 1 saranno i metri.
Successivamente si dovrà indicare il valore delle altre cifre, ricordando la posizione nella tabella.
A questo punto sarà sufficiente spostare la virgola dopo la misura che ci viene richiesta, cioè dopo i decimetri.
 






Proviamo ora, sempre usando lo stesso procedimento, ad effettuare la trasformazione dei decimetri in metri.


Rimarchiamo che le uguaglianze appena scritte si chiamano equivalenze. Che cos’é un’equivalenza? E’ una trasformazione di una misura in un’altra misura espressa con un’altra marca ma con lo stesso valore.
Eseguiamo alcune equivalenze insieme alla lavagna e poi con attività individuale.
Proponiamo un altro modalità di esecuzione delle equivalenze:

se si tratta di trasformare un’unità di misura maggiore in una minore, bisogna moltiplicare per 10, 100, 1000, …. e quindi occorre spostare la virgola verso destra di 1, 2, 3, ….. posti a seconda che ci si sposti di 1, 2, 3, …. posizioni. Viceversa, se si tratta di trasformare un’unità di misura minore in una maggiore, bisogna dividere per 10, 100, 1000, …. e quindi occorre spostare la virgola verso sinistra di 1, 2, 3, ….. posti a seconda che ci si sposti di 1, 2, 3, …. posizioni.
Anche con questo metodo proponiamo delle attività individuali, lasciando poi liberi gli alunni di utilizzare il sistema che preferiscono.
Naturalmente occorre contemperare la necessità di far svolgere esercitazioni con l'esigenza di proporre attività gratificanti e stimolanti. A tal proposito, in classe io ho utilizzato la Lim per proporre equivalenze sotto forma di puzzle da scoprire progressivamente. In alternativa propongo due schede cartacee da stampare.

Una situazione su cui riflettere: "Oggi per la Tartaruga Ruga è una giornata faticosa. Pensate che ha dovuto fare tantissima strada: prima ha percorso 81 m, si è fermata un po' a riposare ed infine ha percorso 0,457 km. Quanti m ha percorso?"
Facciamo indicare agli alunni quale operazione si dovrebbe eseguire per rispondere:
81 m + 0,457 km = ................... m
Evidenziamo l'esigenza di avere tutte le misure con la stessa marca, in questo caso il metro, perchè questo ci chiede la domanda: dobbiamo quindi operare una trasformazione prima di poter effettuare il calcolo.
Effettuiamo insieme alcune operazioni con le misure (sia addizioni che sottrazioni), avendo cura di proporre per ora, equivalenze che non abbiano come risultato numeri decimali.
Passiamo poi al lavoro individuale.

Il lavoro proseguirà nei prossimi giorni

mercoledì 21 novembre 2012

Moltiplicazioni in colonna - classe quarta

In questa prima fase di lavoro cercheremo di rivedere e consolidare i meccanismi già appresi nello scorso anno scolastico relativamente alle moltiplicazioni in colonna con una o due cifre al moltiplicatore.
Cerchiamo sempre, per quanto possibile, di partire da situazioni problematiche reali o create ad hoc. Iniziamo con moltiplicazioni che hanno il moltiplicatore composto da una sola cifra.
Ad esempio proponiamo questa situazione:
"Mario percorre 6 volte in una settimana il percorso da Torino a Savona lungo km 145. Quanti km percorre?"
Eseguiamo  in colonna 145 x 6, ricordando che prima dobbiamo ripetere 6 volte le unità, poi 6 volte le decine aggiungendo il riporto ed infine 6 volte le centinaia, sempre aggiungendo il riporto. Se gli alunni conoscono bene la tabella della moltiplicazione, non dovrebbero avere grossi problemi ad affrontare questo tipo di moltiplicazioni. Eseguiamone comunque alcune insieme, considerando al moltiplicando anche numeri fino alle migliaia ed approfittiamone per ripassare il nome dei termini della moltiplicazione e come eseguire la cosidetta prova del 9 (solo successivamente farò eseguire la prova applicando la proprietà commutativa, perchè farlo ora significherebbe eseguire moltiplicazioni con 3, 4 cifre al moltiplicatore che gli alunni non conoscono ancora). 
Proponiamo un esercizio da svolgere individualmente

Passiamo successivamente alle moltiplicazioni con il moltiplicatore di due cifre.
Anche stavolta prendiamo spunto da una situazione problematica, come ad esempio:
"Nella nostra classe, composta da 26 alunni, ciascun alunno paga € 16 per il progetto scacchi e per il progetto danza. Quanto pagano gli alunni in totale?" 
Siamo in grado di eseguire la moltiplicazione in riga, applicando la proprietà distributiva e di verificare il risultato eseguendo la stessa moltiplicazione in colonna. Anche questa volta ne approfitteremo per rivedere i termini della moltiplicazione.
Con altri esempi vediamo come verificare l'esattezza delle moltiplicazioni, eseguendo la prova sia applicando la proprietà commutativa, sia la prova del 9.
 
Continuiamo ora con il lavoro individuale, proponendo moltiplicazioni in colonna inizialmente di non eccessiva difficoltà. Ad esempio:
24 x 13
57 x 12
40 x 32
51 x 16
42 x 18
27 x 14
38 x 25
65 x 15

Successivamente si potrà aumentare il grado di difficoltà passando a moltiplicazioni sempre con due cifre al moltiplicatore, ma con il moltiplicando formato da numeri con 3 o 4 cifre. Ad esempio: 
Ecco alcune possibili operazioni per il calcolo sul quaderno, da svolgere in diversi momenti (naturalmente avremo cura di proporre anche addizioni e sottrazioni in colonna):


162 x 4

40 x 15
313 x 77
326 x 8

42 x 25
387 x 42
437 x 9

28 x 36

146 x 37
15 x 19

214 x 72
790 x 14
38 x 21

520 x 30
2 143 x 84
35 x 23

111 x 95
2 605 x 46


La tappa successiva del nostro lavoro prevede il passaggio alle moltiplicazioni con il moltiplicatore di 3 cifre. partiamo da una situazione problematica, come ad esempio: "Un treno percorre tutti i giorni dell'anno il percorso da Imperia a Milano, lungo 245 km.  Quanti km percorrerà il treno in un anno?"
L'operazione che risolve il problema è 245 x 365. Proviamo ad eseguirla in colonna, rispettando le seguenti fasi:
  • moltiplichiamo ogni cifra del moltiplicando per le unità del moltiplicatore: otteniamo il primo prodotto parziale
  • moltiplichiamo ogni cifra del moltiplicando per le decine del moltiplicatore, avendo cura prima di barrare la posizione delle unità poichè otterremo un risultato in decine, il secondo prodotto parziale
  • moltiplichiamo ogni cifra del moltiplicando per le centinaia del moltiplicatore, avendo cura prima di barrare la posizione delle unità e delle decine poichè otterremo un risultato in centinaia , il terzo prodotto parziale
  • sommiamo tutti i prodotti parziali per ottenere il prodotto totale.
Eseguiamone alcune insieme alla lavagna poi proponiamo esercitazioni individuali:
125 x 86
604 x 18
217 x 59
346 x 126
560 x 205
180 x 504


Una lezione per Lim sulle moltiplicazioni in colonna con una sola cifra al moltiplicatore
Una verifica scritta sulle moltiplicazioni
Ulteriori risorse dal Web 
Vedi U. A. di riferimento 

martedì 13 novembre 2012

Moltiplicazioni: calcolo mentale - classe quarta

Iniziamo l'attività rivedendo le moltiplicazioni dei numeri naturali per 10, 100 e 1000. L'argomento è stato già affrontato nello scorso anno scolastico, ma merita comunque un ripasso.
Cosa accade se moltiplichiamo un numero per 10, 100 e 1000?

Dagli esempi fatti deriva l'osservazione che per moltiplicare velocemente un numero naturale per 10, 100 e 1000 è sufficiente aggiungere alla sua destra uno, due o tre zeri.
Proponiamo esercizi a livello orale scritto, come ad esempio queste due tabelle

X 10
X 100
X 1000
24



45



8



56





X 10
X …….
X 1000
………

600

45
450


72

7 200

……..
800



Propongo anche il seguente quesito, tratto dalla prova Invalsi dello scorso anno.
"Nella tua classe l’insegnante chiede di moltiplicare a mente 130 x 50. Scrivi come faresti tu per trovare rapidamente il risultato usando il calcolo mentale."
Risposta: ………….........……………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………...............................

Ritengo anche importante proporre agli alunni dei calcoli ad "occhio" con previsione dei risultati. Ad esempio:


Quale potrebbe essere il risultato esatto di ciascuna delle seguenti operazioni?

9 000 – 2 400

275 + 225
2 200
400 x 9
500
11 x 2 x 100
6 600
250 x 2
3 600
4 000 – 1 800
710
330 x 10 x 2

575 + 135


Possiamo guidare gli alunni a scoprire altre strategie di calcolo con la moltiplicazione.
Chiediamo, ad esempio, come si può operare per moltiplicare velocemente per 5. Lasciamo che gli alunni discutano fino ad individuare la possibilità di moltiplicare per 10 e dividere per 2.
Quale può, invece, essere la strategia per moltiplicare velocemente per 9? In questo caso è più difficile individuare una soluzione corretta (alcuni bambini diranno "moltiplicare per 10 e togliere 1!). 
Consideriamo questo esempio: 11 x 9. Sappiamo che il risultato è 99
Invitiamo gli alunni a riflettere sul fatto che se ripetiamo 11 dieci volte invece di nove, abbiamo ripetuto una volta di troppo quindi bisogna togliere una volta il numero ripetuto, cioè il moltiplicando. La strategia è quindi: "moltiplicare per 10 e togliere il moltiplicando", "11 x 10 - 11".
Adesso potrebbe essere più semplice scoprire in che modo eseguire velocemente moltiplicazioni per 11. Lasciamo anche stavolta che gli alunni arrivino da soli a scoprire che occorre "moltiplicare per 10 e aggiungere il moltiplicando", ad esempio
Proponiamo alcuni esempi a livello orale ed un esercizio sul quaderno.
Calcola velocemente:


21 x 5
21 x 9
21 x 11
14 x 5
14 x 9
14 x 11
16 x 5
16 x 9
16 x 11
18 x 5
18 x 9
18 x 11

lunedì 12 novembre 2012

La soluzione dei problemi (2 d. e 2 op) - classe quarta


Conversiamo con gli alunni: molto spesso ci troviamo a dover risolvere problemi, alcuni dei quali possono essere risolti compiendo delle azioni, altri invece richiedono l’uso di operazioni aritmetiche.
Vediamo alcuni esempi. 
Quali di queste situazioni si possono risolvere compiendo azioni e quali invece richiedono operazioni aritmetiche?
·         A. Ho aperto la porta per innaffiare i fiori sul pianerottolo, la porta si è richiusa ed io sono rimasto fuori casa e senza le chiavi
·         B. Possiedo € 50. Posso comprare una maglia che costa € 35 ed una camicia che costa € 25?
·         C. Siamo al trentottesimo minuto di una partita di calcio che dura 90 minuti. Quanti minuti mancano alla fine?
·         D. Alle 16, 30 parte sia il treno che il bus per Roma. Sono indeciso su quale mezzo di trasporto scegliere.
Per rivedere il grado di sicurezza degli alunni nei confronti dei concetti logici implicati nelle quattro operazioni aritmetiche, possiamo proporre un’esercitazione di questo tipo.
Propongo anche una situazione come la seguente, adattata da un item della prova Invalsi della classe quinta.
Marta è appassionata di fumetti. La nonna le regala 20 euro e Marta decide di spenderli per acquistare dei giornalini che costano € 3 l’uno. Quanti giornalini riesce a comprare al massimo?
Risposta: …………………….


Rivediamo con gli alunni le fasi da seguire nella risoluzione di un problema matematico. Iniziamo da problemi con due domande da risolvere con due operazioni.
Proponiamo sia problemi consequenziali (in cui nella seconda operazione si deve utilizzare il risultato della prima) sia problemi non consequenziali.
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Ecco alcuni possibili problemi


Consequenziali
Non consequenziali
Su un banco del mercato il fruttivendolo al mattino dispone 20 cassette, ognuna delle quali contiene 25 mele. Durante la giornata il fruttivendolo vende 325 mele.
Quante mele c’erano in tutto al mattino?
Quante mele non sono state vendute?
Ad una gara ciclistica partono 306 corridori. Se gli uomini sono 217, quante sono le donne?
Giungono al traguardo solo 258 corridori. Quanti corridori si sono ritirati?
Il maestro ha 4 schede da fotocopiare; fa 26 copie di ogni scheda. Quante saranno tutte le schede? Il maestro le suddivide in parti uguali in 2 contenitori. Quante schede in ogni contenitore?
Una biblioteca possiede 5 760 libri. Al termine della scorsa settimana risultavano in prestito 1 254 libri. Quanti libri erano rimasti nella biblioteca?
In questa settimana sono stati effettuati altri 157 prestiti. Quanti sono ora i libri in prestito?
Un autista deve portare un gruppo di turisti da Genova a Firenze (226 km) e poi da Firenze a Roma (278 km). Quanti km dovrà percorrere in totale?
Se impiega 6 ore ad effettuare il percorso, quanti km ha percorso in media ogni ora?




Vedi U. A. di riferimento