martedì 29 gennaio 2013

Problemi con la domanda nascosta - classe quarta

Il passaggio ai problemi con la domanda nascosta è spesso un percorso irto di ostacoli che, quindi, occorre affrontare con molta attenzione e con la dovuta gradualità.
Per me questo significa la necessità di svolgere molti  esempi insieme, usando numeri semplici in modo che eventuali difficoltà di calcolo non distolgano l'attenzione da ciò che è lo scopo della lezione.
Nella prima fase del lavoro io chiedo agli alunni di inserire la domanda mancante e poi di risolvere il problema come sanno abitualmente fare.
Iniziamo lavorando collettivamente alla lavagna per risolvere un problema, come il seguente:
"In piscina Simone percorre 50 m a stile libero e 150 m a rana.
.............................................................................................
Se Giorgia ha percorso 500 m a nuoto, quanti metri deve ancora fare Simone per eguagliare Giorgia?"
In una seconda fase del lavoro chiedo agli alunni di aggiungere a matita la domanda mancante, poi la cancelliamo e la sostituiamo con il segno "?" ad indicare che sappiamo che in quel punto del testo del problema esiste una domanda nascosta che bisogna considerare per poter risolvere il problema.
Come si può vedere ho anche introdotto la risoluzione mediante espressione, chiedendo agli alunni di indicare con la parentesi la prima operazione e poi di concatenare a questa la seconda operazione, ricordando che nell'espressione non dobbiamo indicare i risultati delle singole operazioni.
Un altro problema risolvibile allo stesso modo potrebbe essere questo:
"Ho comprato una scatola di palline per l'albero di Natale; quando l'ho aperta ho visto che contiene 6 file di 7 palline ciascuna. Ne ho già appese all'albero 35. Quante palline devo ancora mettere?”


In una terza fase possiamo limitarci ad inserire un punto interrogativo nel testo del problema, dove dovrebbe essere presente la domanda nascosta.


Proviamo ora ad utilizzare quanto abbiamo appreso per risolvere problemi con la domanda nascosta che richiedano anche l'uso di equivalenze tra misure. Ad esempio:
"Un contadino ha prodotto 2 dal di vino rosso e 5,6 dal di vino bianco. Imbottiglia il vino in bottiglioni da 2 l ciascuno. Quanti bottiglioni occorrono?"
Procederemo collettivamente alla risoluzione, sempre nel solito modo. Dopo l'analisi dei dati, gli alunni si accorgeranno della necessità di operare trasformazioni di misure. Poiché la domanda non richiede una misura specifica, sarà possibile trasformare i litri in decalitri o viceversa. Quale delle due opzioni ci conviene seguire?
Se trasformiamo i litri in decalitri dovremo fare solo un'equivalenza ma poi dovremo operare con numeri decimali, se trasformiamo i decalitri in litri dovremo fare due equivalenze ma poi opereremo con numeri interi. Gli alunni decidono di adottare questa seconda opzione.


Un altro esempio: " Un ascensore ha una portata di 0,4 Mg. Vogliono salire contemporaneamente 6 persone che pesano in media 75 kg ciascuna. Di quanti kg il peso delle persone supera la portata dell'ascensore?"
Proponiamo poi, sempre con esecuzione collettiva, un problema in cui sia possibile utilizzare diversi percorsi di soluzione. Gli alunni dovranno optare per svolgere 2 equivalenze iniziali per trasformare nella marca richiesta dalla domanda o potranno risolvere il problema con le misure date e quindi operare una trasformazione finale.


Una verifica scritta da stampare
Vedi U. A. di riferimento

Multipli, divisori, numeri primi - classe quarta

Riprendiamo la tabella della moltiplicazione per compiere alcune altre osservazioni circa i multipli.

Notiamo che i multipli di un numero sono i prodotti della moltiplicazione di quel numero. Ad esempio quali sono i multipli di 2?
I multipli di 2 sono: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...........
I multipli di 3 sono: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, ............
Ci accorgiamo che i multipli di un numero sono infiniti. Perché?
Vediamo anche che alcuni numeri possono essere multipli di più di un numero.
Osserviamo anche la tabella della divisione. Si chiamano divisori di un numero quelli che lo dividono esattamente, senza resto.
2 è divisore di 10 perché 10 : 2 = 5
3 è divisore di 21 perché 21 : 3 = 7
Notiamo il rapporto tra multipli e divisori
Proponiamo alcuni esercizi
Riconsideriamo la tabella della divisione; quali altre osservazioni possiamo compiere?
Vediamo che ci sono numeri che hanno come divisori solo "1" e se stessi, mentre altri numeri hanno più divisori. I numeri che sono divisibili solo per "1" e per se stessi si dicono numeri primi. Il numero "1" ha un solo divisore, pertanto non è considerato un numero primo.
Diamo la caccia e scoviamo quali sono i numeri primi nascosti tra 1 e 10.
Come facciamo a sapere quali altri numeri primi ci sono? Ecco una tabella, detta crivello (cioè “setaccio” ) di Eratostene, per trovare i numeri primi tra 1 e 100.
Opera così: colora l'"1" che non è un numero primo, colora i multipli di 2 ma non il 2, i multipli di 3 ma non il 3, i multipli di 5 ma non il 5, i multipli di 7 ma non il 7. Le caselle non colorate contengono i numeri primi. Fai clic per stampare il crivello.

Una lezione per Lim Smart su multipli, divisori e numeri primi
Vedi U. A. di riferimento

lunedì 28 gennaio 2013

Le misure di massa - classe quarta

La massa di un corpo è la quantità di materia da cui il corpo è composto. Lo strumento con cui la misuriamo è la bilancia. L’unità di misura convenzionale per le masse è il chilogrammo. Conosciamo già dallo scorso anno alcune delle misure di massa, per cui rivediamo soltanto alcuni concetti fondamentali.

Sappiamo che ci sono misure più piccole del kg, i sottomultipli del kg.
1 kg : 10 = 1/10 di kg =  0,1 kg
e’ l’ettogrammo che si abbrevia hg
1 kg = 10 hg   1 hg = 0,1 kg     1hg = 100 g

1 kg : 100 = 1/100 di kg =  0,01 kg
e’ il decagrammo che si abbrevia dag
1 kg = 100 dag   1 dag = 0,01 kg        1 dag = 10 g

1 kg : 1000 = 1/1000 di kg =  0,001 kg
e’ il grammo che si abbrevia g
1 kg = 1000 g   1 g = 0,001 kg

Ci sono misure più piccole del grammo, i sottomultipli del grammo
1 g : 10 = 1/10 di g =  0,1 g
e’ il decigrammo che si abbrevia dg
1 g = 10 dg   1 dg = 0,1 g

1 g : 100 = 1/100 di g =  0,01 g
e’ il centigrammo che si abbrevia cg
1 g = 100 cg   1 cg = 0,01 g

1 g : 1000 = 1/1000 di g =  0,001 g
e’ il milligrammo che si abbrevia mg
1 g = 1000 mg   1 mg = 0,001 g

Rispetto a quanto appreso lo scorso anno diciamo che esistono anche i multipli del chilogrammo: le decine di chilogrammi, le centinaia di chilogrammi e le migliaia di chilogrammi. Quest'ultima misura è chiamata megagrammo (Mg), 1000 volte più grande del kg

1 kg x 1000 = 1000 kg
1 Mg =1000 kg   1 kg = 0,001 Mg

Sintetizziamo in tabella

Procediamo collettivamente ad esercizi di scomposizione di misure, indicando il valore di ogni cifra.
Eseguiamo lo stesso tipo di attività a livello individuale.

Se gli alunni hanno compreso bene la fase precedente, non dovrebbero avere molte difficoltà nell'esecuzione di trasformazioni di misure (le equivalenze).
Come abbiamo già visto nei due post precedenti sulle misure di lunghezza e di capacità, lasciamo gli alunni liberi di utilizzare la strategia che preferiscono. Procediamo ad esercizi da svolgere collettivamente e poi individualmente.
340 g = …………… hg
130 g = ……………. dag
48 dag = …………… kg
7 g = …………….. dag

0,5 hg = …………… g
1,8 hg = ………… dag
0,06 Mg = ………… kg
2,8 kg = ………… dag

35 Mg = …………… kg
2370 kg = ………… Mg
4000 kg = ………… Mg
532 hg = …………… kg

0,6 kg = …………….. hg = …………….. dag = …………….. g

246 cg = …………….. g = …………….. dg = …………….. mg

1 580 mg = …………….. dg = …………….. cg = …………….. g

0,9 kg = …………….. g = …………….. dag = …………….. hg

0,3 Mg = …………….. kg = …………….. hg










Una lezione per Lim Smart sul SMD
Una lezione per Lim Smart sulle equivalenze
Un test/gioco on line per i tuoi alunni
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martedì 22 gennaio 2013

I poligoni - classe quarta

L'argomento di questo post è un ripasso in quanto i poligoni sono già stati affrontati in terza.
Chiediamo chi ricorda che cosa sono i poligoni e proponiamo poi una situazione iniziale, con relativo disegno alla lavagna:
Oca Roca deve attraversare un fiume gelato, può farlo solo passando sui poligoni: colora quindi solo i poligoni.
Ricordiamo e scriviamo che  “Il poligono è lo spazio delimitato da una linea spezzata chiusa semplice”.
Come abbiamo già visto lo scorso anno i poligoni possono essere convessi (se non contengono i prolungamenti dei lati) o concavi (se invece contengono il prolungamento di uno o più lati).
Quale tra i poligoni che sopra hai colorato è concavo?
Chiediamo agli alunni se con un segmento o con due si possono costruire poligoni e giungiamo ad osservare che con uno o due segmenti non esiste poligono. Per avere un poligono dobbiamo avere almeno tre segmenti. I poligoni possono essere classificati in base al numero dei lati e degli angoli. Costruiamoli con il geopiano e classifichiamoli:

3 lati e 3 angoli: triangolo
4 lati e 4 angoli: quadrangolo o quadrilatero
5 lati e 5 angoli: pentagono
6 lati e 6 angoli: esagono
7 lati e 7 angoli: ettagono
8 lati e 8 angoli: ottagono

Proponiamo ora una scheda: fai clic per stamparla.
Rivediamo che cosa si intende per lati, vertici, angoli e diagonali; facciamo notare che ci sono tanti lati quanti sono i vertici e gli angoli; vediamo che c’è un poligono che non ha diagonali. Qual è?
Prendendo come modello un poligono sintetizziamo questi concetti sul quaderno scrivendo le varie definizioni e vedendo anche come si devono indicare correttamente i lati, i vertici e gli angoli.
Ecco una scheda per consolidare gli apprendimenti: fai clic per stamparla.

Sul quaderno scriviamo: “Un poligono che ha i lati congruenti si dice poligono equilatero; un poligono che ha gli angoli congruenti si dice poligono equiangolo. Un poligono regolare ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli della stessa ampiezza, è quindi equilatero ed equiangolo. Tutti i poligoni che non sono regolari, si dicono irregolari”.
Esaminiamo alcune figure
Naturalmente presentiamo anche l'analisi di un pentagono irregolare e di uno regolare fino a giungere alla conclusione che i poligoni regolari sono: il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono regolare, l’esagono regolare, ecc
Proponiamo una scheda per verificare gli apprendimenti: fai clic per stamparla.


giovedì 17 gennaio 2013

Divisioni in colonna - classe quarta

Gli alunni, in quarta, sanno già eseguire divisioni in colonna con il divisore di una cifra, pertanto il primo obiettivo è quello di consolidare le capacità acquisite negli anni precedenti. Si tratterà pertanto di rivedere le fasi di esecuzione, aumentando gradualmente la grandezza del dividendo da 2 a 3, 4, 5 cifre.
Naturalmente eseguiremo insieme, alla lavagna, alcuni esempi con e senza resto, prevedendo sia casi di divisione in cui occorra considerare inizialmente solo una cifra del dividendo, sia casi in cui occorra considerare due cifre.
Esempio: 82 : 6, 255 : 3, 1 493 : 7, 45 036 : 8
Quando ci sembrerà che gli alunni siano pronti, potremo proporre una scheda di lavoro individualizzata in cui si ritroveranno operazioni con lo stesso gradiente di difficoltà di quelle già affrontate collettivamente.
Una possibile scheda potrebbe essere la seguente, in cui gli alunni dovranno eseguire i due gruppi di operazioni sul quaderno e poi, riordinando i risultati in modo crescente ed abbinando a questi le lettere corrispondenti ad ogni operazione, potranno individuare la città in cui si trova il monumento rappresentato ed il museo che vi è ospitato.
Fai clic per stampare la scheda.
Proponiamo successivamente altre divisioni sempre con una cifra al divisore e con il dividendo progressivamente più complesso.
Ad esempio:


7 762 : 9
67 200 : 5
40 880 : 6
5 314 : 6
68 646 : 3
95 876 : 6
1 748 : 5
78 752 : 8
91 206 : 9

Possiamo quindi passare alle divisioni con il divisore di due cifre. Diverse sono le strade percorribili, io seguo questa metodologia che richiede una buona capacità di eseguire moltiplicazioni in riga:
  • evidenziare nel dividendo le cifre da considerare per la divisione (il cappellino...)
  • ipotizzare quante volte il divisore può essere contenuto nella cifra considerata del dividendo
  • verificare l'ipotesi eseguendo la moltiplicazione in riga
  • se il divisore è contenuto esattamente non ci sono problemi, se non è contenuto esattamente dobbiamo cercare di avvicinarci il più possibile alla cifra considerata del dividendo.
Iniziamo con divisioni semplici (dividendo a 2 cifre), facendo sempre precedere il lavoro collettivo a quello individuale.
 
Passiamo poi a divisioni con il dividendo di 3 cifre ed il divisore a due cifre.
Eseguiamone molte insieme. Ad esempio partiamo da questa situazione: 
Una classe di 21 alunni ha raccolto € 855 per un fondo di solidarietà. Quanto ha versato in media ogni alunno?
Altre operazioni possibili: 342 : 57, 169 : 14, 174 : 29, ecc.
Proponiamo poi il lavoro individuale

Adottiamo lo stesso procedimento per passare alle divisioni con 4 cifre al dividendo e 2 cifre al divisore.
Propongo una scheda per rendere più interessante l'attività degli alunni. Fai clic per stamparla.
Possiamo ora introdurre anche divisioni con il dividendo di 5 cifre.




Vedi U. A. di riferimento

giovedì 10 gennaio 2013

Simulazione prova Invalsi matematica (2012) classe seconda

Ci stiamo avvicinando, per le classi interessate quest’anno, alla prova Invalsi dell’a. s. 2012/13!
Può essere quindi il momento di proporre agli alunni una simulazione della prova stessa.
A tal fine sul mio blog delle verifiche propongo un documento in pdf che ricalca la prova Invalsi assegnata alle classi seconde nell'a.s. 2011/2012. Qual è il vantaggio di scaricarlo e stamparlo?
- Contiene 20 esercizi simili, ma spesso non uguali alla vera prova Invalsi dello scorso anno: gli alunni (anche quelli che eventualmente hanno già provato a svolgere la prova) potranno così esercitarsi su materiale nuovo testando se riescono ad eseguire il lavoro nel tempo assegnato.
- Ho concentrato gli esercizi e curato l'impaginazione per cui occorre solamente stampare 6 pagine per ogni alunno, invece delle 16 contenute nella prova Invalsi.
Non resta allora che stampare, fotocopiare ed analizzare i risultati ottenuti.

Fai clic sul link!

martedì 8 gennaio 2013

La divisione: tabella e proprietà - classe quarta


Rivediamo la tabella della divisione e scriviamo alcune osservazioni:
  • 0 : 0 = indeterminato perché il risultato può essere qualunque numero in quanto qualunque numero moltiplicato per 0 fa 0.
  • Le divisioni con lo zero al divisore sono impossibili. Ad esempio 4 : 0 = impossibile perché non c’è nessun numero che moltiplicato per 0 dia 4.
  • 0 è l’elemento assorbente quando è al dividendo.
  • Un numero diviso per se stesso fa sempre 1.
  • Un numero diviso per 1 resta uguale a se stesso. L'uno al divisore è l'elemento neutro della divisione.
Proseguiamo l'attività in modo da rivedere simultaneamente il significato della divisione, i suoi termini e la sua prova.
Dedichiamoci successivamente al ripasso della proprietà invariantiva della divisione. Prendiamo avvio da una situazione problematica, ad esempio:
"Oca Roca deve percorrere 1200 km per superare la Grande Pianura del Nord. Se percorre in volo 20 km al giorno, quanti giorni le saranno necessari?"
Naturalmente l'operazione che risolve è 1 200 : 20.
Come potrebbe essere utile semplificare questa divisione? Lasciamo che gli alunni avanzino proposte e quasi senz'altro ci sarà qualcuno che dirà di togliere uno zero ad entrambi i numeri. Bene, togliere uno zero significa dividere per dieci. Proviamo ed aiutiamo gli alunni a prendere coscienza del fatto che abbiamo applicato la proprietà invariantiva della divisione che afferma che il quoziente non cambia se si moltiplica o si divide per uno stesso numero sia il dividendo che il divisore.
Proponiamo poi esercizi applicativi.
 

Guidiamo ora gli alunni alla scoperta della proprietà distributiva della divisione. Ricordando che abbiamo già considerato la proprietà distributiva parlando di moltiplicazione, proponiamo la seguente situazione:
Luigi e Marco sono andati a fare una passeggiata nel bosco, raccogliendo foglie di diversi tipi per portarle in classe. Luigi ha raccolto 72 foglie, mentre Marco ne ha raccolte 18. Dividono le foglie in 9 bustine uguali. Quante foglie in ogni bustina?
Certamente si può procedere unendo tutte le foglie e poi dividendole in 9 parti uguali: (72 + 18) : 9 = 90 : 9 = 10
ma si potrebbe anche operare dividendo in 9 parti uguali le foglie di Luigi e quelle di Marco e poi sommando i risultati ottenuti: 
(72 : 9) + (18 : 9) = 8 + 2 = 10
Vediamo anche un esempio con la sottrazione:
(64 - 32) : 8 = 32 : 8 = 4 oppure
(64 : 8) - (32 : 8) = 8 - 4 = 4
Abbiamo applicato la proprietà distributiva della divisione: se dobbiamo dividere una somma o una differenza per un numero, possiamo dividere ogni termine per quel numero e poi sommare o sottrarre i risultati ottenuti
Eseguiamo alcuni esempi insieme e poi individualmente

Un test/gioco on line per i tuoi alunni
Una verifica scritta da stampare