venerdì 7 marzo 2014

Area del romboide, del rombo e del trapezio - classe quinta

Distribuiamo agli alunni due romboidi eseguiti sulla carta centimetrata: fai clic per stampare la scheda.
Ritagliamo il primo romboide ed incolliamolo sul quaderno. Notiamo che non è semplice stabilire quanti cm2 misura la sua superficie. Possiamo però osservare che la base misura 7 cm e l'altezza 4 cm.



Consideriamo allora il secondo romboide che constatiamo essere congruente e quindi equivalente al primo ed operiamo questa trasformazione: ritagliamo il secondo romboide e lo trasformiamo in un rettangolo.


Dopo la trasformazione abbiamo ottenuto un rettangolo equiesteso che ha la stessa base (7 cm) e la stessa altezza (4 cm) del romboide, quindi se troviamo l’area del rettangolo troviamo anche l’area del romboide. Nel nostro caso 7 x 4 = 28 cm2  
Ne deriva che:
Realizziamo un algoritmo per il calcolo dell’area del romboide.
A questo punto della lezione propongo una mia presentazione in PowerPoint: fai clic per scaricarla e la faccio seguire da una scheda come la seguente: fai clic per stamparla.


Risolviamo insieme questo problema:
"Da un campo a forma di romboide con la base di 63 m e l’altezza di 24 m un contadino ha ricavato 0,65 kg di foraggio per ogni mq. Quanto ricava il contadino dalla vendita del foraggio se per ogni kg riceve € 1,50?"
Proponiamo la risoluzione individuale di altri problemi. Ad esempio:
"Calcola l'area di un romboide che ha la base di 180 cm e l'altezza uguale ai 3/4 della base."
"Da un cartellone rettangolare che ha la base di 8 dm e l'altezza di 6,5 dm vendono ricavati 15 piccoli romboidi con la base di 13 cm e l'altezza di 8,6 cm. Qual è la superficie del cartellone che avanza?"
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Distribuiamo agli alunni due rombi eseguiti sulla carta centimetrata: fai clic per stampare la scheda.
Ritagliamo il primo rombo ed incolliamolo sul quaderno. Notiamo che non è semplice stabilire quanti cm2 misura la sua superficie. Possiamo però osservare che la diagonale maggiore misura 6 cm e la diagonale minore 4 cm.

Consideriamo allora il secondo rombo: esso è congruente e quindi equivalente al primo. Operiamo questa trasformazione:
Abbiamo ottenuto un rettangolo che ha la base lunga come la diagonale maggiore (6 cm) e l'altezza lunga come la diagonale minore (4 cm): osserviamo che la superficie del rombo è la metà della superficie del rettangolo.
L'area del rettangolo (6 x 4 = 24 cm2) corrisponde al doppio dell'area del rombo, quindi l'area del rombo sarà (6 x 4) : 2 = 12 cm2
Ne consegue che
Realizziamo un algoritmo per il calcolo dell’area del rombo.  
Suggerisco una mia presentazione in PowerPoint: fai clic per scaricarla.
Anche per il rombo propongo una scheda sul calcolo di area e perimetro: fai clic per stamparla. 



Risolviamo insieme questo problema:
"Un bambino vuole costruire 2 aquiloni a forma di rombo con le diagonali di 90 cm e 70 cm. Quanto costa costruire gli aquiloni con carta colorata che viene venduta ad € 2,50 al m2?"    
Proponiamo la risoluzione individuale di altri problemi. Ad esempio:
"Calcola l'area di un rombo che ha la diagonale maggiore di 80 cm e la diagonale minore pari ai 3/4 di quella maggiore".
"Un giardino a forma di rombo ha le diagonali di 82 e 46 m. Al centro vi è una piazzetta quadrata con il lato di 15 m. Calcola l'area della parte verde del giardino."
"In un giardino rettangolare è stata costruita una pista di pattinaggio a forma di rombo. Sapendo che AB = 114 m e BC = 57 m, calcola l'area del prato."

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Distribuiamo agli alunni due trapezi eseguiti sulla carta centimetrata: fai clic per stampare la scheda.
Evidenziamo in colore blu la base maggiore ed in colore rosso la base minore di entrambi i trapezi.
Ritagliamo il primo trapezio ed incolliamolo sul quaderno. Anche stavolta ci accorgiamo che non è semplice stabilire quanti cm2 misura la sua superficie. Possiamo però osservare che la base maggiore misura 8 cm e la base minore 4 cm, mentre l'altezza misura 3 cm.
Consideriamo allora il secondo trapezio: esso è congruente e quindi equivalente al primo. Ritagliamo anche il secondo trapezio ed incolliamolo vicino al primo in modo da formare un romboide.

Notiamo che otteniamo un romboide formato da due trapezi congruenti, con la superficie doppia di quella del trapezio. Quindi se troviamo l’area del romboide troviamo l’area di due trapezi.
Notiamo anche che la base del romboide corrisponde alla somma delle due basi del trapezio, mentre l'altezza è uguale. Possiamo quindi stabilire che:



Realizziamo un algoritmo per il calcolo dell’area.

Suggerisco anche per il trapezio una mia presentazione in PowerPoint: fai clic per scaricarla.
Anche per il trapezio propongo una scheda sul calcolo di area e perimetro: fai clic per stamparla. 
Risolviamo insieme questo problema:
"Un terreno a forma di trapezio ha la base maggiore di 850 m, la base minore è la metà della base maggiore e l'altezza è di 260 m. Quanti ettari misura il terreno?"

Anche in questo caso proponiamo la risoluzione individuale di altri problemi. Ad esempio:
"Un giardino a forma di trapezio ha le basi di 70 m e 40 m e l'altezza di 320 dm. Quanti mmisura il giardino?"
"Vogliamo ricoprire una parete rettangolare (dimensioni 1,5 m per 2 m) con piastrelle a forma di romboide che hanno la base di 20 cm e l'altezza di 5 cm. Quante piastrelle serviranno?"
"Un trapezio scaleno ha la base maggiore che misura 156 m, la base minore di 98 m e l'altezza che misura la metà della base minore. Calcola l'area del trapezio."



6 commenti:

  1. Caro maestro,un problema sul trapezio fornisce solo i dati delle basi e dell'altezza e chiede di calcolare area e perimetro. Una mia collega sostiene che a volte, il lato obliquo può coincidere con l'altezza nel caso di un trapezio "isoscele rettangolo" e sostiene che questo può accadere anche nel caso di un triangolo "isoscele rettangolo". io ho provato a disegnare la figura con le misure del problema e altezza e lato obliquo non coincidono. Inoltre, non ho ritrovato in alcun libro, la sua teoria. Per piacere, illuminami tu!!

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    1. In questo spazio non posaso utilizzare il disegno per spiegarmi, se mi fornisci la tua mail (che non pubblicherò) vedo di inviarti una risposta anche grafica. Non so a quale classe ed ordine di scuola si riferisce il problema. In ogni caso è vero che un trapezio può essere rettangolo ed isoscele. In tal caso una delle due basi è lunga come il lato perpendicolare (l'altezza). Per calcolare l'area non c'è problema, per calcolare il perimetro ti manca comunque la misura di un lato obliquo. Se il problema è per le medie si può calcolare anche questo lato obliquo usando il teorema di Pitagora.

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  2. Caro maestro sempre paziente e disponibile, grazie per la risposta. Il problema si riferisce ad una 5^ elementare perciò il teorema di Pitagora penso sia escluso. Comunque, se ho compreso bene, possono coincidere solo altezza e base e non altezza e lato obliquo. Inoltre, quel problema, nello specifico, forniva la misura delle due basi per cui i bambini non ne possono calcolare il perimetro escludendo il T. di Pitagora. Scusami se ti disturbo, ma le tue spiegazioni molto chiare, rendono anche più facile spiegare i concetti ai bambini. Grazie ancora!

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  3. sì, direi che hai compreso bene. Ciao!

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  4. Caro maestro,
    grazie per aver messo a disposizione il tuo lavoro, punto di riferimento costante per me!
    Cercavo la parte relativa alle formule inverse, dall'area alla base,all'altezza....
    Poi volevo chidere se in quinta si affronta la radice quadrata, in tal caso tu dove l'hai trattata?
    Grazie mille!
    Chiara

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    1. Non ho fatto le formule inverse in quinta, solo qualche breve cenno; io direi che ci sarebbe da essere più che soddisfatti se gli alunni al termine della quinta sapessero calcolare area e perimetro delle figure piane, comprendendo esattamente cosa fanno e perché lo fanno e non limitandosi ad applicare mnemonicamente delle formule.
      La stessa cosa vale per la radice quadrata, non è prevista in quinta, so che qualcuno la presenta, io non sono d'accordo e non l'ho presentata sistematicamente.

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