mercoledì 4 giugno 2014

L'area dei poligoni regolari - classe quinta

Studiando in geografia la Puglia, nell'ambito delle regioni dell'Italia Meridionale, ci siamo imbattuti nel curioso Castel del Monte, universalmente noto per la sua pianta ottagonale.


Partiamo proprio dalla pianta del castello per rivedere, prima di procedere oltre, il concetto di poligono regolare.
I poligoni regolari sono poligoni con lati ed angoli congruenti. Sono: triangolo equilatero, quadrato, pentagono regolare, esagono regolare, ettagono regolare, ottagono regolare, ecc. 
Consegniamo agli alunni due esagoni congruenti e quindi equivalenti: possiamo ricavarli da questa scheda.
Facciamo ritagliare ed incollare sul quaderno il primo esagono, poi facciamo ritagliare il secondo esagono, scomponendolo nei triangoli che lo costituiscono e facciamo incollare anche questi sul quaderno. Notiamo che l'esagono si può scomporre in 6 triangoli congruenti.

Proviamo anche con un altro poligono regolare, ad esempio il quadrato fino a scoprire che ogni poligono regolare è scomponibile in tanti triangoli uguali quanti sono i suoi lati. L’altezza di ciascuno dei triangoli uguali è detta apotema.

Disegniamo sul quaderno due quadrati con i lati rispettivamente di 5 e di 4 cm. Scomponiamo i quadrati in quattro triangoli congruenti e tracciamo l'apotema. Misuriamo l'apotema tracciata: nel primo caso la lunghezza è 2,5 cm, nel secondo quadrato l'apotema misura 2 cm.




Notiamo che in ogni quadrato l'apotema misura sempre la metà del lato.

Dividiamo ora la misura dell'apotema per la misura del lato.


Proviamo con un altro poligono regolare, ad esempio con il triangolo equilatero.


Possiamo dire che in ogni poligono regolare il rapporto tra apotema e lato è costante e si chiama numero fisso.
Ogni poligono regolare ha quindi un numero fisso, cioè un rapporto fisso tra la misura dell'apotema e quella del lato.
Ecco una tabella dei numeri fissi di alcuni poligoni regolari:

Triangolo equilatero
0,288
Quadrato
0,5
Pentagono regolare
0,688
Esagono regolare
0,866
Ettagono regolare
1,038
Ottagono regolare
1,207





















Facciamo completare una prima tabella, in cui dato il lato gli alunni debbano calcolare la misura del perimetro.

FIGURA
LATO
PERIMETRO
Pentagono regolare
13,5 cm
……………………………………

Esagono regolare
4,4 cm
……………………………………

Ottagono regolare
8,9 cm
……………………………………



Proseguiamo con una seconda tabella, in cui occorre calcolare la misura del lato o del perimetro.


Presentiamo ancora un'altra tabella in cui occorra calcolare il lato o l'apotema.



Se gli alunni hanno compreso il lavoro fin qui svolto, possiamo procedere alla scoperta del modo di calcolare l'area dei poligoni regolari.
Distribuiamo ad ogni alunno una coppia di esagoni regolari congruenti e dunque equivalenti (fai clic per stamparli)Ritagliamo il primo esagono ed incolliamolo sul quaderno.

Notiamo che non è semplice stabilire quanti cm2 misura la sua superficie. Possiamo, però, operando sul secondo esagono fare questa trasformazione.


Si ottiene un romboide con la superficie doppia dell’esagono. Quindi se troviamo l’area del romboide troviamo la doppia area dell’esagono. La base del romboide corrisponde alla somma dei lati dell'esagono (il perimetro) e l’altezza è uguale all’apotema. Quindi:


Realizziamo un algoritmo per il calcolo dell’area.

Suggerisco una mia presentazione in PowerPoint: fai clic per scaricarla.
Proponiamo una tabella da completare, eseguendo i relativi calcoli sul quaderno.


POLIGONO
LATO
APOTEMA
PERIMETRO
AREA

Triangolo equilatero

8 m
…………………
…………………
…………………

Quadrato

10 dm
…………………
…………………
…………………

Pentagono regolare

55 cm
…………………
…………………
…………………

Esagono regolare

7,4 m
…………………
…………………
…………………

Ottagono regolare

100 m
…………………
…………………
…………………

















Iniziamo anche a dedicarci alla risoluzione di problemi, procedendo prima collettivamente. Esempio:
"La pianta del castello ottagonale di Castel del Monte, in Puglia, misura 16,30 m per ciascun lato. Al centro vi è un cortile sempre ottagonale con il lato di 7 m. Qual è l'area della parte coperta del castello?"
Procediamo poi con altri problemi a risoluzione individuale o di coppia. Esempi:
"Calcola la misura del lato di un pentagono regolare che ha l'apotema di 18,576 m"
"Calcola la misura del lato di un esagono regolare con l'apotema di 9,526 m"
"Un monumento ha la base esagonale con il lato di 2,5 m. Calcola l'area occupata dalla base".



3 commenti:

  1. Ciao maestro Giampaolo, io ho finito in classe 2^, mi sto dimenticando anche che esistono le apoteme ;) Anch'io avevo pubblicato un lavoro sull'area dell'esagono, magari può servire a qualcuno? Ti metto il link...
    http://mamamate.wordpress.com/2012/05/28/larea-dei-poligoni-regolari/
    e buone vacanze!

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  2. grazie io sto facendo la seconda media ed essendo stato a casa 2 settimane a casa per l'appendicite ho perso tutta la tua spiegazione e domani ho la verifica grazie

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