venerdì 21 febbraio 2014

Le misure agrarie - classe quinta

Alcune misure di superficie quando vengono usate per misurare la superficie dei campi, vengono chiamate misure agrarie: il m2 corrisponde alla centiara (ca), il dam2 all’ara (a), l’hm2 all’ettaro (ha).

Ricostruiamo quindi la tabella delle misure di superficie che gli alunni già conoscono.


ha
a
ca



km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
da
u
da
u
da
u
da
u
da
u
da
u
da
u

10 000m2
100m2
1




A questo punto parlo ai bambini del catasto dei terreni, spiego a cosa serve e come vengono espresse le estensioni dei terreni nelle visure catastali.
Considerando alcuni esempi di visure catastali, proviamo a individuare le misure agrarie ed a trasformarle nelle corrispondenti misure di superficie: fai clic per stampare la scheda.


Facciamo inserire alcune misure in tabella.






L'area del rettangolo e del quadrato - classe quinta

La misura della superficie di una figura piana si chiama area.
Distribuiamo agli alunni un rettangolo ritagliato da questa scheda (fai clic per stampare la scheda), che faremo incollare sul quaderno e vediamo quanto misurano i suoi lati.


La base misura 6 cm mentre l’altezza misura 3 cm. Notiamo che la base è lunga 6 cm e su di essa stanno 6 cm2, l’altezza è lunga 3 cm e su di essa stanno 3 cm2. Coloriamo i cm2 sulla base e sull'altezza.
Per calcolare quanti cm2 è la superficie dobbiamo proprio contare tutti i cm2 o possiamo fare più velocemente? Ci sarà sicuramente qualche alunno che ci darà lo spunto corretto: i cmformano uno schieramento per cui è sufficiente contare quanti cmci sono su una riga e ripetere per il numero delle righe.
Calcoliamo dunque la superficie: 6 cm2 ripetuti 3 volte = 6 x 3 = 18 cm2. Ma siccome 6 cm è la misura della base e 3 cm è la misura dell’altezza, possiamo scoprire  la formula per calcolare l'area di ogni rettangolo: b x h.
Realizziamo un algoritmo per il calcolo dell’area del rettangolo.


Ecco una tabella in cui occorre calcolare l'area di rettangoli di cui si conosce la base e l'altezza.



Utile a questo punto della lezione potrebbe essere una mia presentazione in PowerPoint: fai clic per scaricarla.

Distribuiamo ora agli alunni il quadrato ritagliato dalla medesima scheda.
Facciamo incollare anche questo sul quaderno e vediamo quanto misurano i suoi lati.


La base misura 5 cm come l’altezza. Notiamo che la base è lunga 5 cm e su di essa stanno 5 cm2, l’altezza è lunga 5 cm e su di essa stanno 5 cm2. Coloriamo i cmsulla base e sull'altezza.
Per calcolare quanti cm2 è la superficie dobbiamo proprio contare tutti i cm2 o possiamo fare più velocemente? Gli alunni ormai avranno capito che i cmformano uno schieramento per cui è sufficiente contare quanti cmci sono su una riga e ripetere per il numero delle righe.
Calcoliamo dunque la superficie: 5 cm2 ripetuti 5 volte = 5 x 5 = 25 cm2. Ma siccome 5 cm è la misura della base e dell’altezza, possiamo scoprire  la formula per calcolare l'area di ogni quadrato: b x h = l x l = l2.
Realizziamo un algoritmo anche per il calcolo dell’area del quadrato.
Utilizzo ora una mia presentazione in PowerPoint: fai clic per scaricarla.
Propongo anche due schede sul calcolo di area e perimetro del rettangolo e del quadrato.

Possiamo ora iniziare a proporre alcune situazioni problematiche sul calcolo delle aree del rettangolo e del quadrato. Iniziamo con un problema da risolvere insieme.



Proseguiamo poi con problemi a risoluzione individuale o di coppia.
Esempi:
"Misura l'altezza e la base del cartellone dietro alla cattedra e calcolane l'area."


"Calcola l'area di una vetrata formata da 12 vetri quadrati con il lato di 65 cm."
"Il diario di Dair è a forma rettangolare con l'altezza di 20,2 cm e la base di 14 cm. Qual è la misura della superficie?"
"il perimetro di una tovaglia quadrata misura 380 cm. Qual è la misura del lato della tovaglia? E quella della superficie?"
"Un quadro rettangolare ha la base che misura 33 cm e l'altezza di 20,3 cm. Calcola il perimetro e l'area." 
"Un imbianchino deve pitturare una parete quadrata con il lato di 4,3 m. Calcola perimetro ed area della parete."

Propongo infine una scheda con esercizi tratti da precedenti prove Invalsi: fai clic per stamparla.



giovedì 20 febbraio 2014

Le percentuali - classe quinta

Molti bambini hanno già visto il simbolo %. Chiediamo loro se ricordano in quali occasioni hanno incontrato il suddetto simbolo. Certamente ci sarà qualche alunno che farà riferimento alla geografia ed in modo particolare alla conformazione del territorio. Controlliamo sul libro di geografia, considerando ad esempio la regione Lombardia.

Il territorio della Lombardia è formato dal 47% di pianure, dal 41% di montagne e dal 12% di colline. Questo significa che se immaginiamo il territorio della Lombardia uguale a 100, 47 parti su 100 sono pianure, i 47/100; 41 parti su 100 sono montagne, i 41/100; 12 parti su 100 sono colline, i 12/100. Rappresentiamo con un areogramma.

La percentuale quindi può essere considerata come una frazione, una parte di una quantità.
Chiediamo agli alunni in quali situazioni hanno già incontrato le percentuali. Queste le risposte dei miei alunni: ai saldi, nei negozi, alla televisione per le elezioni, sul libro di geografia per il territorio della regione e per la distribuzione dei lavoratori nei settori economici, ecc.
Riflettiamo dunque sull'utilità di approfondire la conoscenza di questa parte della matematica. 
Consideriamo ad esempio questa situazione problematica.
Dei 2000 turisti arrivati sulle Dolomiti il 25% sono italiani. Quanti sono i turisti italiani?
L’informazione 25% ci dice che su 100 turisti 25 sono italiani perché il 25% corrisponde alla frazione 25/100. Per calcolare il valore della percentuale devi procedere così:
25% di 2000 = 25/100 di 2000 = (2000: 100) x 25 = 20 x 25 = 500

Vediamo collettivamente altri esempi.

Svolgiamo attività individuale sul calcolo delle percentuali.


Propongo ora una scheda, sempre sul calcolo delle percentuali: fai clic per stamparla.


Ancora un po' di attività individuali:




Consideriamo ora questa situazione:
In una classe di 25 alunni oggi l'8% degli alunni è assente. Quanti sono gli alunni assenti?
Gli alunni ormai sanno risolvere la situazione in questo modo.



Se la situazione fosse invece questa:
In una classe di 25 alunni oggi 2 alunni sono assenti. Qual è la percentuale di bambini assenti oggi?
Attraverso la discussione con i bambini giungiamo a scoprire che occorre moltiplicare il valore che vogliamo trasformare in percentuale per 100 e poi dividere per il valore totale.



Vediamo insieme altri due esempi.





Assegniamo un esercizio in cui occorra calcolare il tasso percentuale.




Concludiamo con un esercizio tratto da una precedente prova Invalsi.
"In una classe di 25 alunni sono assenti 5 alunni.
a. Scrivi la frazione che rappresenta il numero di alunni assenti rispetto al totale degli alunni della classe.
Risposta: ………………….
b. Quale percentuale dell’intera classe rappresentano gli alunni assenti?
Risposta: …………. %"

Vedi U. A. di riferimento

lunedì 17 febbraio 2014

Espressioni aritmetiche e problemi - classe quinta

Gli alunni utilizzano da molto tempo le espressioni aritmetiche nella risoluzione dei problemi e quindi già conoscono alcune delle regole da seguire per trasformare un diagramma a blocchi in espressione. Affrontiamo quindi il discorso soprattutto dal punto di vista delle tecniche di risoluzione di un'espressione aritmetica. Iniziamo considerando queste due tabelle. Calcoliamo la media tra le province liguri delle scuole primarie unite a quelle dell’infanzia. Dovremo prima sommare le scuole dell’infanzia, poi dovremo sommare le scuole primarie, unire i due totali e dividere per 4.

Scuole dell'infanzia


Province
Provincia di Genova (348)
Provincia di Imperia (117)
Province
Provincia della Spezia (108)
Provincia di Savona (134)

Scuole Primarie


Province
Provincia di Genova (234)
Provincia di Imperia (87)
Province
Provincia della Spezia (81)
Provincia di Savona (94)


Come possiamo rappresentare con i numeri? Proviamo con il diagramma a blocchi e poi trasformiamolo in espressione

[(348 + 117 + 108 + 134) + (234 + 87 + 81 + 94)] : 4 = 300,75
L’espressione aritmetica è un insieme di numeri legati fra loro da segni di operazione. Un’espressione aritmetica può contenere parentesi tonde, quadre, graffe o esserne priva. Le parentesi sono sempre a coppia. Ecco le principali regole da seguire, partendo da situazioni problematiche:
  • Giovanni ha 25 figurine, ne regala 17 a Samuele, Joan gliene dà altre 3 e Giovanni ne passa infine 2 a Davide. Quante figurine ha ora Giovanni?
L’espressione non ha parentesi e contiene solo addizioni e/o sottrazioni: si eseguono le operazioni nell'ordine in cui sono scritte. Vediamo un altro esempio:
--------------------------------------------------------------------------------------------
  • In palestra 24 bambini vengono suddivisi ugualmente in 4 squadre. Ai bambini di una squadra vengono dati 2 palloni ciascuno che vengono poi distribuiti in parti uguali su 3 angoli della palestra. Quanti palloni in ogni angolo?
L'espressione non ha parentesi e contiene solo moltiplicazioni e/o divisioni: si eseguono le operazioni nell'ordine in cui sono scritte. Ecco un altro esempio:
--------------------------------------------------------------------------------------------
  • 4 amici comprano 8 hg di caffè a 3 euro l'ettogrammo e dividono la spesa in parti uguali. Se uno di loro aveva prima dell'acquisto 7 euro, quanto gli resterà?


 

L'espressione non ha parentesi e contiene  moltiplicazioni e/o divisioni con addizioni e/o sottrazioni: si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni nell'ordine in cui sono scritte e poi le addizioni e le sottrazioni anch'esse nell'ordine in cui sono scritte. Ecco alcuni altri esempi:

Proviamo ad eseguirne alcune con lavoro individuale. Esempi:
13 + 15 : 3 - 35 : 7 =
59 + 18 + 30 x 20 : 5 =
240 : 12 : 4 + 3 x 60 - 90 =
---------------------------------------------------------------------------------------------
Proponiamo ora la risoluzione collettiva di questa espressione.

Vediamo che l’espressione contiene parentesi tonde: si eseguono prima le operazioni contenute nelle parentesi rispettando le regole di precedenza che conosci. Le parentesi si eliminano dopo aver eseguito tutte le operazioni in essa contenute. Ecco altri esempi:




Proviamo ad eseguirne alcune con lavoro individuale. Esempi:

150 - (17 + 6 x 5) + 700 x 3 =
12 x 3 + (45 - 900 : 30 - 14) =
---------------------------------------------------------------------------------------------
Passiamo ora a risolvere collettivamente quest'altra espressione.



Vediamo che l’espressione contiene parentesi quadre e tonde: si eseguono prima le operazioni contenute nelle parentesi tonde rispettando le regole di precedenza che conosci, poi, sempre rispettando le stesse regole, si eseguono le operazioni nelle parentesi quadre. Le parentesi si eliminano dopo aver eseguito tutte le operazioni in essa contenute. Ecco altri esempi:



Proponiamo l'esecuzione di altre espressioni con lavoro individuale. Esempi:
(8 x 14) - 3 x [(14 + 5) + 2 x (3 + 6)] =

(7 + 5) : 3 + [4 + (42 - 38) x 2] =
---------------------------------------------------------------------------------------------
Risolviamo questa espressione



Vediamo che l’espressione contiene parentesi graffe, quadre e tonde: si eseguono prima le operazioni contenute nelle parentesi tonde rispettando le regole di precedenza che conosci, poi, sempre rispettando le stesse regole, si eseguono le operazioni nelle parentesi quadre ed infine quelle nelle parentesi graffe. Le parentesi si eliminano dopo aver eseguito tutte le operazioni in essa contenute. Ecco altri esempi:



Come sintesi di quanto appreso finora, facciamo eseguire alcune altre espressioni, come, ad esempio, queste:
(30 : 6 + 3) x (4 + 18 : 3) - (5 x 7 + 7) =
[40 - (2 x 4 + 4 x 6)] + 22 : 2 =
24 x 4 - {5 + [(240 : 10) – 3 x 2]} =
678 + 46 - {56 + [70 - (5 x 12)] + 11} =  
{320 + [700 - (564 + 46)] - 300} =

Propongo una scheda in cui occorre risolvere problemi aritmetici con il diagramma e poi è richiesto di trasformare il diagramma in espressione aritmetica: fai clic per stamparla.




Propongo infine due schede con esercizi tratti dalle precedenti prove Invalsi: fai clic per stamparle.


giovedì 13 febbraio 2014

L'arrotondamento - classe quinta

Ci sono talvolta dei grandi numeri con cui non è semplice operare: per questo motivo è possibile, in alcune occasioni, ricorrere ad un’approssimazione.
Vediamo un esempio:
La popolazione della Valle d’Aosta è di  124  812 abitanti; possiamo approssimare e dire che la Valle d’Aosta ha una popolazione di 125 000 abitanti.
La differenza in più o in meno tra il numero di partenza e quello approssimato si dice scarto.
In questo caso lo scarto è :
124 812 (numero di partenza)              
125 000 (approssimazione)                 
+ 188 (scarto)

Quando arrotondiamo un numero possiamo ottenere un numero minore di quello di partenza: si dice che abbiamo approssimato per difetto.

Quando invece otteniamo un numero maggiore di quello di partenza (come nell’esempio sopra) si dice che abbiamo approssimato per eccesso.

Vediamo come si può approssimare alla decina.
(si eliminano le cifre successive che vengono sostituite con 0, la cifra delle decine resta invariata oppure viene aumentata di uno)

Allo stesso modo possiamo approssimare alle centinaia, alle unità di migliaia, ecc. Occorre sempre sostituire con zero le cifre successive e far restare invariata oppure aumentare di uno la cifra a cui si arrotonda.
Arrotondiamo alle centinaia:

Arrotondiamo alle unità di migliaia:

Propongo ora una scheda: fai clic per stamparla.



Vedi U. A. di riferimento

mercoledì 5 febbraio 2014

Dati, grafici, media, moda e mediana - classe quinta

Molto importante è la capacità di saper realizzare e, soprattutto, interpretare grafici. Pensiamo a quanto spesso essi sono utilizzati sui quotidiani, alla tv, nelle aziende, ecc.
Iniziamo a considerare l'ortogramma, in cui i valori assoluti sono sull'asse delle ascisse mentre le variabili sono sull'asse delle ordinate (naturalmente non useremo questo linguaggio con gli alunni): in pratica si tratta di rappresentare i dati con rettangoli orizzontali ugualmente distanziati.


La tabella seguente rappresenta i gol segnati da alcuni calciatori della serie A nel girone di andata. 


Higuain
9
 Tevez
11
Palacio
10
Cerci
9
Cassano
6

Rappresentiamo questa situazione con un ortogramma: dovremo tracciare l'asse x delle ascisse e l'asse y delle ordinate. Sull'asse x inseriamo i valori, scegliendo un intervallo di misura costante, sull'asse y inseriremo le variabili (in questo caso i nomi dei calciatori).


Abbiamo anche altre possibilità di rappresentare i dati in oggetti: possiamo usare ad esempio un diagramma a linee, una rappresentazione grafica in cui ad ogni dato corrisponde una linea di lunghezza corrispondente (o proporzionale) al dato rappresentato. Le linee possono essere poste in orizzontale o in verticale.


Ora invece rappresentiamo la stessa situazione con un istogramma (simile all'ortogramma ma non ci sono spazi tra i rettangoli).

Proviamo ora a rendere uguali le colonne, come se tutti i calciatori considerati avessero segnato lo stesso numero di gol (proviamo anche con i mattoncini o le palline dell’abaco).

Abbiamo trovato la media, cioè il valore totale di una serie distribuito in parti uguali fra i componenti della serie stessa. Avremmo potuto calcolarla anche così:
9 + 11 +10 + 9 + 6 = 45
45 : 5 = 9 è la media.
Quindi la media è un valore astratto che esprime una situazione ipotetica e serve a darci un’idea complessiva di un determinato fenomeno. 
Propongo a questo punto una scheda per analizzare dati e ricavarne la media: fai clic per stamparla.


Proviamo ora ad utilizzare un altro tipo di grafico, il diagramma, utile per rappresentare l'andamento di un fenomeno, ad esempio le variazioni della temperatura minima della città di Torino dal 10 al 16 gennaio 2014.
Questi sono i dati:

10 gennaio
11 gennaio
12 gennaio
13 gennaio
14 gennaio
15 gennaio
- 1°
16 gennaio


Il fatto che ci siano valori negativi inizia a farci capire che l'asse y può proseguire oltre lo zero e quindi dovremo rappresentare così (il disegno non è precisissimo ma ho già spiegato più volte che utilizzo i quaderni di tutti i bambini).


Abbiamo visto che l'asse Y può proseguire ai numeri negativi oltre lo zero; la stessa cosa può fare l'asse x. In questo modo dividiamo il piano in quattro parti, dette quadranti. 
Sul piano cartesiano è possibile individuare i punti grazie alle coordinate. Ad esempio il punto C, nell'esempio sotto, ha le coordinate (+4; +1) perché il primo numero si cerca sull'asse delle ascisse, il secondo sull'asse delle ordinate. Facciamo individuare le coordinate anche degli altri punti.
A (-5; +5)
B (-5; -3)
C (+4; +1)
D (+1; -2)



Propongo una scheda su coordinate e piano cartesiano: fai clic per stamparla.



Rivediamo anche i concetti di moda e di mediana. Partiamo da questa situazione che rappresenta il numero di reti segnate da alcune squadre in un campionato passato e rispondiamo ad alcune domande.

SQUADRE
RETI FATTE
MILAN
59
ROMA
63
JUVENTUS
59
INTER
54
PARMA
49
LAZIO
47
SAMPDORIA
39
UDINESE
37
BOLOGNA
40


Consideriamo un altro esempio.
Questa tabella rappresenta il numero delle province delle Regioni dell'Italia Meridionale e Insulare.
Regione
n° province
Campania
5
Puglia
6
Basilicata
2
Calabria
5
Sicilia
9
Sardegna
8

Qual è la media del numero di province? 5 + 6 + 2 + 5 + 9 + 8 = 35
                                                                 35 : 6 = 5,8
Qual è il valore più frequente? 5
5 è la moda

Mettiamo i valori in ordine crescente? 2 - 5 - 5 - 6 - 8 - 9
Quali valori occupano la posizione centrale?  Notiamo che in questo caso ed in tutti i casi in cui il numero dei dati è pari, ci sono due valori centrali.
2 - 5 - 5 - 6 - 8 - 9
Calcoliamo la media di questi valori: 5 + 6 = 11                       11 : 2 = 5,5

5,5 è la mediana.

Propongo una scheda riassuntiva: fai clic per stamparla.

Ed infine ecco due schede con esercizi tratti da precedenti prove Invalsi: fai clic per stamparle.