venerdì 23 dicembre 2016

Raggruppamenti di 3° ordine in varie basi - classe terza

Matematica per gli insegnanti

Per i raggruppamenti del 3° ordine rinvio a quanto già pubblicato a proposito dei raggruppamenti di 2° ordine.

Matematica per gli alunni


COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica.
Riconosce ed utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici.

-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

effettuare raggruppamenti e cambi in basi diverse da 10; effettuare raggruppamenti di 3° ordine in base 10 ed esprimere le quantità ottenute con i simboli numerici; utilizzare correttamente lo zero ed il valore posizionale delle cifre



PERCORSO DIDATTICO

Bruno e Bassotto sanno benissimo che nella galassia Matematica ci sono i pianeti dei numeri. Su ogni pianeta ci sono regole particolari per contare e scrivere i numeri. Ad esempio sul pianeta del 4 si conta sempre in base 4, cioè si raggruppa e si cambia ogni volta che si hanno 4 elementi; sul pianeta del 5 si conta sempre in base 5, cioè si raggruppa e si cambia ogni volta che si hanno 5 elementi e così via…

Ora Bruno e Bassotto ci hanno inviato un quesito:
Babbo Natale ci ha chiesto aiuto per spedire sul pianeta del 2 un certo numero di Play Station Megagalattiche (PSM) che serviranno per i regali di Natale. Esattamente vuole che ne spediamo una quantità che voi, sul pianeta del 10, chiamate 13. Come dovremo indicarlo noi per farci capire dai bambini del paese del 2?”
Attenzione! E’ un compito importante, qui si tratta di aiutare non solo Bruno e Bassotto ma anche Babbo Natale.
Allora cominciamo, prendiamo 13 unità dei regoli o del materiale multibase: ogni unità rappresenta una PSM.
Raggruppiamo per 2 cambiando le unità in lunghi, effettuando cioè un raggruppamento di 1° ordine.



I lunghi sono 6 quindi raggruppiamo per 2 e cambiamo poi i lunghi in piatti: questo è un raggruppamento di 2° ordine.


I piatti sono 3 quindi raggruppiamo per 2 e cambiamo i piatti in cubi: raggruppamento di 3° ordine.


Ora registriamo in tabella
Ecco, ora sappiamo che Bruno e Bassotto dovranno indicare la quantità così: 1101(2).
Ora che sappiamo come fare, proviamo a vedere come si rappresentano 31 u in base 3.

Proviamo anche ad effettuare  cambi usando una tabella


giovedì 22 dicembre 2016

La tabella della moltiplicazione e le tabelline - classe terza

Matematica per gli insegnanti

La tabella della moltiplicazione  è completa perché la moltiplicazione è sempre possibile.

La prima colonna e la prima riga sono tutti zero perché l'operatore è  (* 0). Questa legge si chiama legge di annullamento del prodotto: se in un prodotto un fattore è zero, anche il prodotto è zero. Viceversa, se un prodotto è zero, uno almeno dei suoi fattori è zero.
0 * n = 0
n * 0 = 0
Poiché lo zero annulla tutti i prodotti si può chiamare elemento assorbente.

L’operatore (*1) è l’elemento neutro della moltiplicazione perché non modifica nulla
1 * n = n * 1 =n

Il prodotto di due numeri pari è un numero pari.
Il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari.
Il prodotto di un numero pari ed un numero dispari è un numero pari.

Sulla diagonale principale si trovano i cosiddetti  numeri quadrati, cioè i numeri ottenuti dal prodotto di un numero per se stesso: n * n

La diagonale principale è asse di simmetria della tabella: i numeri che si trovano alla stessa distanza, sia a destra sia a sinistra della diagonale, sono uguali.

Matematica per gli alunni


COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Ricerca dati per ricavare informazioni e costruisce rappresentazioni (tabelle e grafici).
L’alunno si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e sa valutare l’opportunità di ricorrere a una calcolatrice.

-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

comprendere il significato dei numeri “0” ed “1” nella moltiplicazione;
individuare alcune caratteristiche della moltiplicazione; conoscere con sicurezza le tabelline della moltiplicazione dei numeri fino a 10 per facilitare il calcolo orale e mentale.





PERCORSO DIDATTICO

Rivediamo i termini della moltiplicazione: a questo proposito potrebbe essere utile una mia presentazione in PowerPoint con i "numeri uccelli".
Propongo poi la tabella della moltiplicazione da completare. Alla classica tabella che costringe gli alunni a destreggiarsi tra righe e colonne, con il rischio di perdere di vista il risultato delle operazioni, io ne preferisco un'altra, da me costruita, che concentra l'attenzione sulle moltiplicazioni e sul loro risultato.
Bruno e Bassotto mentre salgono in seggiovia osservano curiosi le scatole d’acciaio penzolanti nel vuoto e si divertono ad immaginare quante persone potrebbero salire con la funivia. Eh, già, è proprio la funivia. Bassotto estrae dal taschino una scheda come quella che ora vi propongo io.

Nella prima colonna è indicato il numero di persone che potrebbero salire sulla funivia. Prima non c’è nessuno, poi una persona, poi 2, 3, ecc. Nella prima riga invece è indicato il numero delle cabine che salgono.

Ora, usando questa tabella, siamo in grado di sapere quante persone potrebbero esserci in tutto sulla funivia in ogni momento. Ad esempio se ci sono 4 persone in ogni cabina e le cabine sono 7, quante persone stanno salendo? Dove lo scriviamo?
Fai clic per stampare la tabella (con disegni e senza disegni)



Il completamento della tabella ci darà modo anche di renderci conto della situazione della classe riguardo alla conoscenza delle tabelline, in modo da poter intervenire ed ovviare ai problemi riscontrati, attraverso un ripasso oppure con l'aiuto di giochi che aiutino la memorizzazione (nel link delle risorse presenti sotto ci sono molte indicazioni utili).
Completata la tabella potremo procedere alle osservazioni, che trascriveremo in calce alla tabella stessa. Dovrebbe emergere:

la moltiplicazione è sempre possibile
• Osservando la prima riga e la prima colonna dove abbiamo moltiplicato per 0, ci accorgiamo che i numeri sono diventati tutti zero. Lo zero è l’elemento assorbente o annullante della moltiplicazione.
• Osservando la seconda riga e la seconda colonna dove abbiamo moltiplicato per 1, ci accorgiamo che i numeri sono rimasti uguali. L’uno è l’elemento neutro della moltiplicazione.
la moltiplicazione è commutativa. Possiamo allora mettere la freccia a doppia punta nella prima casella?

Introduciamo il concetto di multiplo di un numero come serie infinita che si ottiene moltiplicando quel numero per tutti gli altri numeri. Vediamo alcuni esempi, curando di non fermarci ai canonici multipli che si ottengono moltiplicando per 10, ma proseguendo ancora in modo che gli alunni afferrino bene l'idea che si potrebbe proseguire all'infinito. Dopo aver scritto alcune serie di multipli possiamo procedere ad alcune osservazioni.
Osserviamo: i multipli di 8 sono anche multipli di 4; i multipli di 4 sono anche multipli di 2, i multipli di 9 sono anche multipli di 3; i multipli di 6 sono anche multipli di 2 e di 3.


Molto interessante e simpatico è il gioco Pizza e tabelline.


Un esercizio da svolgere on line.



Una verifica da stampare sulla moltiplicazione

Un test sui contenuti dell'unità n° 4: la moltiplicazione

Una lezione per Lim sulle tabelline

Ulteriori risorse dal Web per la classe seconda

Ulteriori risorse dal Web per la classe terza


martedì 20 dicembre 2016

I significati della moltiplicazione - classe terza

Iniziamo le attività della quarta U. A.: “La montagna”.

Come ormai prassi consolidata illustriamo agli alunni i traguardi di conoscenza che ci proponiamo di raggiungere ed elenchiamoli sul quaderno.
Al termine del quarto percorso "La montagna" dovrai aver imparato a:
• Conoscere gli angoli
• Conoscere il migliaio ed i numeri oltre il 1000
• Conoscere la moltiplicazione e le sue proprietà
• Memorizzare in modo sicuro le tabelline
• Eseguire moltiplicazioni in colonna con due cifre al moltiplicatore
• Risolvere problemi con due domande e due operazioni


Matematica per gli insegnanti


La moltiplicazione fra a e b è l’operazione che addiziona tanti numeri uguali ad a tante volte quante ne indica b:
a × b = a + a + · · · + a {b volte}.
Se moltiplichiamo due numeri appartenenti ad N, il prodotto sarà un altro numero ancora appartenente a N. Diciamo quindi che la moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione.
Nella presentazione della moltiplicazione dovremo aver cura di presentare il caso più frequente e semplice, quello dell'addizione ripetuta, e quello del prodotto cartesiano. Qualche parola su quest'ultimo.
Consideriamo un insieme A = {cerchio, quadrato, triangolo} ed un insieme B {giallo, rosso}. Quali sono tutte le coppie ordinate possibili dell'insieme "A x B"?
Questa operazione si legge A prodotto B e si chiama prodotto cartesiano. Ogni elemento del primo insieme (A) è associato con ciascuno degli elementi del secondo insieme (B)Gli elementi dell’insieme  A x B” non sono singoli ma coppie ordinate. In questo caso le coppie ordinate hanno come primo elemento un elemento dell’insieme A e come secondo elemento un elemento dell’insieme B.
Perciò il prodotto  A x B  è diverso da B x A: non vale la proprietà commutativa!
A x B = {cerchio-giallo, cerchio-rosso, quadrato-giallo, quadrato-rosso, triangolo-giallo, triangolo-rosso}
B x A = {giallo-cerchio, rosso-cerchio, giallo-quadrato, rosso-quadrato, giallo-triangolo, rosso-triangolo}
Il prodotto cartesiano deve il suo nome al filosofo e matematico francese René Descartes, italianizzato in Cartesio, vissuto nel 1600 che ebbe l'idea di un sistema di riferimento che unisce il mondo dei numeri a quello delle figure geometriche. E proprio il sistema di riferimento cartesiano è il più famoso esempio di prodotto cartesiano. 
Tutti i punti del piano sono individuati da una coppia ordinata di numeri (x ∈A e y ∈ B).

Matematica per gli alunni



COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Riconosce e risolve problemi di vario genere, individuando le strategie appropriate, giustificando il procedimento seguito e utilizzando in modo consapevole i linguaggi specifici.

Rileva dati significativi, li analizza, li interpreta, sviluppa ragionamenti sugli stessi utilizzando consapevolmente rappresentazioni grafiche e strumenti di calcolo.
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

esplorare, rappresentare e risolvere situazioni problematiche utilizzando la moltiplicazione; in un testo individuare e distinguere la richiesta e i dati; formulare il testo di un problema; in un testo, individuare la mancanza di dati per risolvere problemi; rappresentare e risolvere simbolicamente situazioni problematiche con la moltiplicazione.   



PERCORSO DIDATTICO

Bruno e Bassotto sono andati in montagna, aspettandosi di trovare i monti altissimi, brulli e spogli che si ergono nella loro Galassia ed invece hanno trovato un paesaggio fiabesco e meraviglioso, con montagne ricoperte di boschi e con rocce dai mille colori ma la cosa più incredibile è una fredda polvere bianca che non conoscevano e che ricopriva tutte le cose. C’era chi faceva delle palle con quella polvere e se le tirava, c’era chi ci scivolava sopra su strani assi di legno e c’era pure chi risaliva i fianci della montagna dentro scatole d’acciaio sospese ad un filo e penzolanti nel vuoto.

Mentre stavano osservando tutto ciò sentirono un urlo e videro arrivare a tutta velocità verso di loro un gruppo di bambini vestiti come astronauti, seguiti da un adulto che gridava, rivolto ai nostri due amici: “ Toglietevi di qua, voi due, non vedete che siete in mezzo alla pista?”. Bruno e Bassotto, impauriti, si spostarono di lato e si sedettero sulla polvere bianca a guardare quello strano gruppo che, nel frattempo, si era fermato.
Il maestro, perché di un maestro di sci si trattava, decise di organizzare una gara di sci a coppie tra i suoi allievi ma ogni coppia doveva essere costituita da un maschio e da una femmina. Gli allievi erano: Paolo, Andrea, Carlo, Elisa, Sandra, Sara. Quante coppie ha potuto formare il maestro di sci?
Vediamo di scoprirlo usando i diagrammi di Eulero – Venn





La rappresentazione è un po' confusa. Proviamo a rappresentare le coppie usando una tabella a doppia entrata.



Infine usiamo il diagramma cartesiano.

Chiediamo: quanti erano i bambini maschi? Quante le femmine? Quanti incroci? Quante le coppie possibili?
3 + 3 + 3 = 9
oppure
3 x 3 = 9
Scriviamo che la moltiplicazione serve per trovare le coppie possibili.




Dopo aver assistito alle nove discese delle coppie, Bassotto ha detto: “Deve essere divertente scivolare sulla polvere bianca! Potremmo provare anche noi. Ma come si fa a salire fin lassù?

Bruno gli ha risposto: “ Se lo vuoi fare, dobbiamo infilarci in quelle scatole penzolanti appese ad un filo.” Allora Bassotto: “No, io preferisco andare su quelle seggiole volanti”.
Fu così che cominciarono a scendere per dirigersi al punto di partenza della seggiovia, perché di questo si trattava. Si fermarono a studiarne il funzionamento. Non era proprio facile salirci e bisognava già avere ai piedi gli assi di legno.
Ogni seggiola volante portava 4 persone. Bruno e Bassotto ne vedono partire alcune.
Se su ogni sedile della seggiovia ci sono 4 persone, quante persone saranno salite su 8 sedili?
Rappresentiamo in forma grafica mettendo una crocetta per ogni persona ed usando i diagrammi di Venn e poi, più velocemente, usando uno schieramento. Rappresentiamo anche con i numeri:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32 oppure
4 x 8 = 32
Scriviamo che la moltiplicazione serve per trovare il totale nel caso di addizione ripetuta.


Propongo una scheda con esercizi tratti dal libro “ La carica dei 21” della casa editrice Juvenilia



Inserisco qui una mia presentazione PowerPoint.



Una verifica da stampare sulla moltiplicazione

Un test sui contenuti dell'unità n° 4: la moltiplicazione

Una lezione per Lim


Ulteriori risorse dal Web (moltiplicazione come addizione ripetuta)

Ulteriori risorse dal Web (moltiplicazione come prodotto cartesiano)



venerdì 16 dicembre 2016

La proprietà invariantiva della sottrazione - classe terza

Matematica per gli insegnanti

La sottrazione gode della proprietà:
·        Invariantiva: la differenza tra due numeri non cambia se si aggiunge o si sottrae lo stesso numero sia al minuendo che al sottraendo. Possiamo anche dire:
" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)
a – b = (a + c) – (b + c)

a – b = (a – c) – (b – c)

Matematica per gli alunni


COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e sa valutare l’opportunità di ricorrere a una calcolatrice.
Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso esperienze significative, che gli facciano intuire come gli strumenti matematici che ha imparato ad utilizzare siano utili per operare nella realtà.
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

eseguire mentalmente semplici operazioni con i numeri naturali e verbalizzare le procedure di calcolo; applicare la proprietà invariantiva della sottrazione per facilitare il calcolo orale e mentale   


PERCORSO DIDATTICO

Nel bosco Bruno e Bassotto hanno incontrato due scoiattoli, Clip e Clap (questo è il nome che ho dato io per non infrangere i diritti d'autore della Disney ma i miei alunni se ne sono infischiati e li hanno chiamati diversamente) si sono molto divertiti a seguire un gioco che i due scoiattoli facevano.

Clip prende 7 noci, Clap ne prende 3 e i due si chiedono: “Qual è la differenza?”
Rappresentiamo con i regoli


Ciascuno aggiunge 2 noci. Qual è la differenza?


Ora ciascuno toglie 3 noci. Qual è la differenza?


Chiediamo agli alunni quali osservazioni si possono fare? Quasi sicuramente ci sarà chi dice che in una sottrazione possiamo aggiungere o togliere lo stesso numero ed il risultato non cambia.
Infatti la sottrazione gode della proprietà invariantiva: in una sottrazione possiamo aggiungere o sottrarre lo stesso numero al minuendo ed al sottraendo e la differenza non cambia.


Come già le proprietà dell'addizione, anche questa proprietà ci permette di semplificare i calcoli, ad esempio portando alla decina precedente o successiva il minuendo o il sottraendo.
Consideriamo, ad esempio, la sottrazione 136 - 37 e proviamo ad applicare la proprietà invariantiva in modo da portare alla decina successiva il minuendo ed il sottraendo (nel 1° caso dovremo aggiungere 4, nel 2° caso dovremo aggiungere 3).


Ora applichiamo la proprietà invariantiva in modo da portare alla decina precedente prima il minuendo (togliendo 6) e poi il sottraendo (togliendo 7)


Naturalmente qui abbiamo fatto un esempio per far vedere agli alunni la strategia di semplificazione alle decine, ma facciamo notare che si sarebbe potuto operare anche così:

Proponiamo un esercizio da svolgere in modo individuale o a coppie, facendo in modo che sia già presente l’indicazione di quanto aggiungere o togliere.


Svolgiamo poi un altro esercizio, lasciando agli alunni la libertà di scegliere la strategia da usare nell'applicazione della proprietà invariantiva.



Una simpatica attività si trova sul sito di Splashragazzi.



mercoledì 14 dicembre 2016

Problemi senza domanda - classe terza

Matematica per gli insegnanti

Le considerazioni che seguono prendono spunto dal contenuto di un Seminario Nazionale di Ricerca in Didattica della Matematica dell'Università di Torino
Molte ricerche hanno evidenziato come i comportamenti messi in atto dai bambini nella risoluzione di problemi scolastici appaiono spesso irrazionali.
I bambini “vedono” il problema scolastico come qualcosa di totalmente diverso dai problemi reali e affrontano il problema scolastico combinando in qualche modo testo, dati, e diversi schemi risolutivi che hanno interiorizzato nella loro esperienza scolastica e che sono spesso lontani dai processi risolutivi attivati nella risoluzione dei problemi reali.
Nel caso del problema reale viene evidenziato un obiettivo e delle difficoltà a raggiungerlo. Il problema reale viene ulteriormente caratterizzato dai bambini come problema in cui il solutore è anche il protagonista della situazione problematica. 
Il problema scolastico viene chiaramente caratterizzato come una struttura linguistica avente certe caratteristiche (la presenza di dati numerici) e seguita da una domanda. Tale domanda non scaturisce da una situazione problematica e l’unico rapporto che ha con il contesto è quello di richiedere l’utilizzazione dei dati numerici: la problematicità (quando c’è) è circoscritta alla difficoltà di rispondere alla domanda. Alla luce di queste osservazioni appare chiaro come sia difficile per i bambini operare una sintesi fra questi due modelli.

Matematica per gli alunni

COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici.
Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria.
Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista di altri.
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

riconoscere ed isolare situazioni problematiche; in un testo individuare e distinguere la richiesta e i dati; formulare una domanda pertinente al testo problematico; riconoscere la pertinenza o meno della domanda in un testo problematico;
risolvere problemi aritmetici a più soluzioni; inventare testi problematici partendo da una domanda; inventare testi problematici partendo da una operazione.
  


PERCORSO DIDATTICO

Il 1° caso che affrontiamo insieme riguarda un problema da completare con una domanda obbligata.

Attraversando il bosco Bruno e Bassotto contano 95 alberi. 67 di questi sono alberi che perdono le foglie.
E’ un problema questo?
Perché non lo è? Certo, perché manca la domanda.
Quale sarà la domanda possibile per questo problema?
Inseriamo la domanda e risolviamo in modo veloce.



Il 2° caso concerne invece un problema da completare con più domande possibili.

Bruno e Bassotto nel boschetto trovano una famiglia di 12 ghiri ed un’altra famiglia di 8 scoiattoli.
Anche in questo problema manca la domanda. Proviamo a metterla noi. Sentiamo le proposte dei bambini, sperando che riescano ad esprimere almeno due di queste domande:
• Quanti sono gli animali delle due famiglie?
• Quanti sono in più i ghiri?
• Quanti sono in meno gli scoiattoli?
• Qual è la differenza tra ghiri e scoiattoli?



Il 3° caso riguarda un problema con diverse possibili soluzioni.
Bruno e Bassotto incontrano nel bosco un pastore con una pecora, una capra ed un agnello. Essi devono attraversare un ponte sospeso per raggiungere l’altra vallata. Il ponte però può reggere un peso fino a 150 Kg.
Il pastore pesa 84 kg, la pecora pesa 32 kg, la capra pesa 50 kg e l’agnello pesa 16 kg.
Riusciranno a passare tutti insieme sul ponte? Perché?
Individua almeno due soluzioni possibili.



Ecco un'attività che si può svolgere on line.



PROPOSTA PER ATTIVITA' DI LABORATORIO


Propongo una scheda da risolvere con lavoro individuale o a piccoli gruppi. Fai clic qui per stamparla.


Un test/gioco on line per i tuoi alunni